【线性代数的几何意义】（一.一）——“线性”、“代数”的意义

何为“代数”

“代数”一词的英文是Algebra，源于阿拉伯语，其本意是“结合在一起”。就是说代数的功能就是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。抽象的目的不是故弄玄虚，而是为了更好的解决问题，提高效率，把许多看似不相关的问题归为一类问题。

1.从代数式说起

在我们的求学生涯中，最早出现的代数式是在初中阶段，依稀记得什么系数、常数项、单项式、多项式等名词，其定义为：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。简单来说就是我们可以使用字母代表任意的数字进行运算，也可以使用字母之间的运算规则来表示一些有规律的运算，比如完全平方公式和平方差公式：

(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²

其后又出现了各种方程以及方程的根的代数表达式：

ax+b=0 其根为x=-b/a
ax²+bx+c=0 其根为x=[-b±(b²-4ac)^1/2]/(2a)
……

其实初中所学的代数式就是将来我们用到的代数。

2.再看“代数”

再看x²+1=0的根是什么？
在几百年的数学史进化过程中，抽象出了虚数，那么虚数的意义又是什么呢？后面的章节将会详细介绍。
与此同时，数学也在持续不断的进化：
三元方程的根被解出来了；
四元方程的根也被解出来了；
那么五元方程的根如何表示呢？这便涉及到群的伟大概念。

由此现代数学的核心概念群，环，域，映射，线性空间等纷纷现世，标志着代数从局部性研究转向系统结构的整体性分析研究阶段。

讲完了代数，线性问题又是什么样的问题呢？

何为“线性”

线性代数李的线性主要意思就是线性空间中的线性变换，而线性变换或是线性映射是把中学的线性函数概念进行重定义，强调了函数变量之间的变换意义。

1.线性函数

我们所接触的线性函数的概念最早来自初中本一个叫做函数的单元，其中讲解了正比例函数、反比例函数、二次函数等概念以及应用，而正比例函数就是一次函数的一部分，一次函数又叫线性函数，因为它的函数图像是一条直线。而二次函数也叫抛物线函数，因为它的函数图像是抛物线。
至此，详细介绍线性函数,根据上述说明：

f(x)=kx+b（k，b为常数）

就是一个线性函数，如果b=0，那么函数图像就是一条过原点的直线，如下图中的m所示。
上述所说的是线性函数的几何意义，那么线性函数的代数意义又是什么呢？
要满足代数意义的“线性”就必须满足两个条件：

(1)可加性：如果函数f(x)是线性的，那么有：
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
即和的函数等于函数的和，在物理上也常说因变量叠加后的作用结果等于各个因变量独自作用结果的叠加。

(2)比例性：也叫作齐次性、数乘性或均匀性，有：
f(kx)=kf(x) k为常数
即比例的函数等于函数的比例，物理上常数因变量缩放，因变量的作用结果也同比例缩放。

验证上述所说的f(x)=ax+b是否为线性函数：

可加性：
f(x1)=kx1+b;
f(x2)=kx2+b;
f(x1+x2)=k(x1+x2)+b;
f(x1)+f(x2)=k(x1+x2)+2b;
显然：如果b!=0,f(x1+x2)!=f(x1)+f(x2);

比例性：
f(kx)=akx+b；
kf(x)=akx+kb;
显然：如果b!=0,f(kx)!=kf(x)

大家也可以用同样的方法尝试验证其他函数是否为线性函数!

可加性和比例性结合在一起就是“线性”的全部意义，有

f(k1x1+k2x2)=k1f(x1)+k2f(x2)
k1、k2为常数

以上内容引用自《线性代数的几何意义》！

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