函数f的上确界/下确界（sup/inf）的通俗理解，及其与最大值/最小值（max/min）的区别

【定义】
上确界sup 的定义：一个函数/集合最小的上界
下确界inf 的定义：一个函数/集合最大的下界

【实例】
例如，给定函数f(x)=x，x∈(2,8)。由于这个函数的定义域是个开区间(2,8)，所以这个函数没有最大值和最小值：当x无限趋近于2的时候，f(x)无限趋近于2，但是无法等于2，所以没有最小值；当x无限趋近于8的时候，f(x)无限趋近于8，但是无法等于8，所以没有最大值。

但是，依据上确界/下确界（sup/inf）的定义，可知函数f(x)=x，x∈(2,8)的上确界为8，下确界为2。

【注意】
一个函数的最大值/最小值（max/min）不一定存在，但是其上确界/下确界（sup/inf）总是存在的。因此，大家就不难理解，在高水平的学术论文中，经常用上确界/下确界（sup/inf）替代最大值/最小值（max/min）来表示一个函数的优化目标。

【参考文献】
https://zhuanlan.zhihu.com/p/342230743

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