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考虑所有竞赛图的哈密顿回路条数n!n2Cn2−n\frac {n!} {n} 2^{C_{n}^{2}-n}nn!2Cn2−n，即选出一条哈密顿回路剩下的边任意连。

但题目中所求的是有哈密顿回路条数的竞赛图，即强联通的竞赛图。

设f(n)f(n)f(n)表示点数为nnn的强联通竞赛图数量。g(n)g(n)g(n)表示点数为nnn的竞赛图数量。得到

f(n)=g(n)−∑i=1n−1Cnif(i)g(n−i)f(n)=g(n)-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n}^if(i)g(n-i)f(n)=g(n)−i=1∑n−1Cnif(i)g(n−i)

即枚举拓扑序最小的联通块，这部分没有出边，剩下的任意连边。

设F(i)F(i)F(i)为f(i)i!\frac {f(i)} {i!}i!f(i)的生成函数，G(i)G(i)G(i)为g(i)i!\frac {g(i)} {i!}i!g(i)的生成函数，拆开组合数化解后

F(x)=G(x)G(x)+1F(x)=\frac {G(x)} {G(x)+1}F(x)=G(x)+1G(x)

多项式求逆即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long lint;
const int mod = 998244353;
const int maxn = 500005;int m, n;
int fac[maxn], ifac[maxn], G[maxn], H[maxn], F[maxn];inline int Pow(int x, int k)
{int res = 1;while (k) {if (k & 1) res = (lint)res * x % mod;x = (lint)x * x % mod; k >>= 1;}return res;
}inline int gi()
{char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') c = getchar();int sum = 0;while ('0' <= c && c <= '9') sum = sum * 10 + c - 48, c = getchar();return sum;
}namespace poly
{const int phi = mod - 1, G = 3;int n, len, L, R[maxn], A[maxn], B[maxn];void NTT(int *a, int f){for (int i = 0; i < n; ++i) if (i < R[i]) swap(a[i], a[R[i]]);for (int i = 1; i < n; i <<= 1) {int wn = Pow(G, phi / (i << 1)), t;if (f == -1) wn = Pow(wn, mod - 2);for (int j = 0; j < n; j += (i << 1)) {int w = 1;for (int k = 0; k < i; ++k, w = (lint)w * wn % mod) {t = (lint)a[j + i + k] * w % mod;a[j + i + k] = a[j + k] - t;if (a[j + i + k] < 0) a[j + i + k] += mod;a[j + k] = a[j + k] + t;if (a[j + k] >= mod) a[j + k] -= mod;}}}}void mul(int *a, int *b, int len1, int len2, int *c, int len3){for (L = 0, n = 1, len = len1 + len2 - 1; n < len; n <<= 1) ++L;for (int i = 0; i < n; ++i) R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));fill(A, A + n, 0); fill(B, B + n, 0);for (int i = 0; i < len1; ++i) A[i] = a[i];for (int i = 0; i < len2; ++i) B[i] = b[i];NTT(A, 1); NTT(B, 1);for (int i = 0; i < n; ++i) A[i] = (lint)A[i] * B[i] % mod;NTT(A, -1);int inv = Pow(n, mod - 2);for (int i = 0; i < len3; ++i) c[i] = (lint)A[i] * inv % mod;}void mul(int *a, int *b, int len1, int *c, int len2){for (L = 0, n = 1, len = len1 + len1 - 1; n < len; n <<= 1) ++L;for (int i = 0; i < n; ++i) R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));fill(A, A + n, 0); fill(B, B + n, 0);for (int i = 0; i < len1; ++i) A[i] = a[i];for (int i = 0; i < len2; ++i) B[i] = b[i];NTT(A, 1); NTT(B, 1);for (int i = 0; i < n; ++i) A[i] = (lint)A[i] * B[i] % mod * B[i] % mod;NTT(A, -1);int inv = Pow(n, mod - 2);for (int i = 0; i < len2; ++i) c[i] = (lint)A[i] * inv % mod;}void poly_inv(int *a, int n, int *b){static int c[maxn];b[0] = Pow(a[0], mod - 2);for (int t = 2; (t >> 1) < n; t <<= 1) {for (int i = 0; i < t; ++i) c[i] = b[i];mul(a, b, t, b, t);for (int i = 0; i < t; ++i) b[i] = ((c[i] << 1ll) - b[i] + mod) % mod;fill(c, c + t, 0);}}}int main()
{m = gi();for (n = 1; n <= m; n <<= 1) ;fac[0] = ifac[0] = ifac[1] = 1;for (int i = 2; i < n; ++i) ifac[i] = (lint)(mod - mod / i) * ifac[mod % i] % mod;for (int i = 2; i < n; ++i) ifac[i] = (lint)ifac[i - 1] * ifac[i] % mod;for (int i = 1; i < n; ++i) fac[i] = (lint)fac[i - 1] * i % mod;for (int i = 1; i < n; ++i) G[i] = H[i] = (lint)Pow(2, ((lint)i * (i - 1) / 2) % (mod - 1)) * ifac[i] % mod;++H[0];poly::poly_inv(H, n, F);poly::mul(G, F, n, n, F, n);for (int ans, i = 1; i <= m; ++i) {if (i == 2) {puts("-1"); continue;}F[i] = (lint)F[i] * fac[i] % mod;ans = (lint)fac[i - 1] * Pow(2, max(0ll, ((lint)i * (i - 1) / 2 - i)) % (mod - 1)) % mod * Pow(F[i], mod - 2) % mod;printf("%d\n", ans);}return 0;
}

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