一阶电路的零状态响应

　　零状态响应就是电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由外施激励引起的响应。

RC电路的零状态响应

　　在t=0时刻，开关S闭合，电路接入直流电压源U_S。根据KVL，有

　　　　u_R+u_C=U_S

(KVL ∑u=0

指定回路的绕行方向是顺时针的，R、C的电压参考方向与绕行方向一致，电压前面取“+”号，U_{S的电压参考方向与绕行方向不一致，前面取“-”号。}

　　根据KVL，有

　　　　u_R+u_C-U_S=0

得

　　　　U_S=u_R+u_C)

将uR=Ri，i=CduC/dt代入，得电路的微分方程

　　　　RC(du_C/dt)+u_C=U_S

此方程为一阶线性非齐次方程。方程的解由非齐次方程的特解u_C^'和对应的齐次方程的通解u_C^''两个分量组成，即

　　　　u_C=u_C^'+u_C^''

不难求得特解为

　　　　u_C^'=U_S

(对于一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)

非齐次线性方程的通解

　　　　y=e^-∫P(x)dx(∫Q(x)^e∫P(x)dxdx+C)

取C=0便得到特解

　　　　y=e^-∫P(x)dx∫Q(x)^e∫P(x)dxdx

对于RC(du_C/dt)+u_C=U_S，u_C=e-(t/RC)*** 但是对于求解这个实际问题不需要这样循规蹈矩

最后电路稳定后，C相当于开路，那C两端电压就等于电压源两端电压，所以特解是现成的，即u_C^'=U_S)

而齐次方程RCduC/dt+uC=0的通解为

　　　　u_C^''=Ae^-t/^τ

其中τ=RC。因此

　　　　u_C=U_S+Ae^-t/τ

代入初始值，可求得

　　　　A=-U_S

而

　　　　u_C=U_S-U_Se^-t/τ=U_S(1-e^-t/τ)

　　　　i=C(du_C/dt)=(U_S/R)e^-t/τ

　　　　W_R=(1/2)CU_S²(充电效率只有50%)

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