C/C++实现三角函数的方法

前几天在超算学堂上用C语言做一个并行计算求函数积分的作业，恰好平台不支持math.h头文件，于是自己设计了两种计算三角函数的方法，在这里进行总结。

首先最容易想到的是利用泰勒展开式：

注意泰勒展开式的分母部分，要知道int的最大值为2147483647 < 13!，所以当n=6时就要结束累和，而此时由于泰勒展开式的收敛速度并不快，所以误差仍然很大（当x=8时，利用泰勒展开式实现的sinx与math库中自带sinx的绝对误差已经超过了200），因此不能使用泰勒展开式来实现三角函数。

在这里介绍一种相对精确度好很多的实现三角函数的方法——利用CORDIC算法，关于CORDIC算法的介绍详见这篇博客：http://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/8458769

在这里以求sin(x)为例，主要利用的是直角坐标旋转的公式:

x' = cos(θ)*x - sin(θ)*y
y' = sin(θ)*x + cos(θ)*y

主要思路如下：给定一个弧度值a，函数从0开始，首先正向旋转π/4，直到旋转后的弧度值超过a，此时退回π/4，在继续正向旋转π/8，直到弧度值超过a，再退回π/8，再正向旋转π/16。。。如此循环直到旋转的弧度与a的误差小于一定值（下面代码中取π/16384），之后利用此时的x坐标和y坐标来计算出sin

算法的思路类似与二分查找，在实现算法时只需要知道特定几个弧度的三角函数值，就可以求出其它任意弧度的三角函数值，不存在溢出的问题，并且理论上精确度可以达到浮点数绝对值的最小值（精确度靠最终旋转弧度与a的误差和特定角度三角函数值的精确度决定）

由于最终我们要的只是坐标的比例，而不是精确的值，所以还可以上面的公式简化为(各项除以cos(θ))：

x' = x - tan(θ)*y
y' = tan(θ)*x + y

这样只需要知道特定角度的tan值就可以了，代码如下：

double pi = 3.1415926535897932;
double angle[] = {pi/4,pi/8,pi/16,pi/32,pi/64,pi/128,pi/256,pi/512,pi/1024,pi/2048,pi/4096,pi/8192,pi/16384};double tang[]={1,0.4142135623731,0.19891236737966,0.098491403357164,0.049126849769467,0.024548622108925,0.012272462379566,0.0061360001576234,0.0030679712014227,0.0015339819910887,0.00076699054434309,0.00038349521577144,0.00019174760083571};double sinx(double a){if(a <= (pi/16384)){return a; //因为a的值太小，sin a 约等于 a}else{//开始 CORDIC 算法bool negitive = a < 0; // sin(-a) = -sin(a)double x = 10;double y = 0;double theta = 0;for(int i = 0;i < 13;i ++){  //开始迭代double orix,oriy;while(theta < a){ //当前角度小于aorix = x;oriy = y;//坐标旋转x = orix - tang[i] * oriy;y = tang[i] * orix + oriy;theta += angle[i];}if(theta == a){if(negitive){return -(y/sqrt((x*x+y*y)));}else{return (y/sqrt((x*x+y*y)));}}else{//旋转的弧度超过了a，退回原来增加的角度，同时进入下一次迭代theta -= angle[i];x = orix;y = oriy;}}if(negitive){return -(y/sqrt((x*x+y*y)));}else{return (y/sqrt((x*x+y*y)));}}
}

该代码计算结果的精度可以达到10^-5次方，如果要提高精度，可以减小每次增加的弧度的最小值，例如将迭代每次增加的最小的弧度值设为 pi/65536

参考链接：

CORDIC算法入门：http://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/8458769

CORDIC_百度百科：https://baike.baidu.com/item/CORDIC

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