LeetCode - 644 子数组最大平均数 II

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644. 子数组最大平均数 II - 力扣（LeetCode）

题目描述

给定一个包含 n 个整数的数组nums，找到最大平均值的连续子序列，且长度大于等于 k。并输出这个最大平均值。

示例

输入	nums = [1,12,-5,-6,50,3], k = 4
输出	12.75
说明	当长度为 5 的时候，最大平均值是 10.8，当长度为 6 的时候，最大平均值是 9.16667。所以返回值是 12.75。

输入	nums = [1,12,-5,-6,50,3,90,80,-100], k = 4
输出	55.75
说明	无

提示

1 <= k <= n <= 10,000
数组nums中的元素范围是 [-10,000, 10,000]
答案的计算误差小于 10^-5

题目解析

本题还是比较难，在leetcode中也是hard级别。

本题最简单的解题思路是，暴力枚举出nums的所有长度大于等于k的连续子序列，然后分别求解这些连续子序列的平均数，返回最大的。

这里，我们可以用双重for循环来枚举出所有长度大于等于k的连续子序列，外层是连续子序列的左侧起点，内层是连续子序列的右侧终点，但是这个时间复杂度是O(n^2)，对于 1 ≤ n ≤ 10000 的数量级来说，是肯定会超时的。

因此上面思路不可取。

本题目前最优的解法如下：

第一步、通过二分法，找出所求子序列的可能的平均值。

这里，为什么要用二分法呢？

举个例子，有一个数组[1,2,3]，请思考：

它的平均值会大于3吗？
它的平均值会小于1吗？

答案很显然，都不会。因为该数组的最大值为3，因此这个数组的平均值最大只可能为3，不可能超过3；同理这个数组的最小值为1，因此这个数组的平均值最小只能为1，不可能小于1。

因此，我们很容易得出一个结论，一个数组nums的平均值avg，必然满足：

min(nums) <= avg <= max(nums)

因此，我们可以用二分法，在min(nums)和max(nums)区间内找到一个符合要求平均值。

那么二分查找，何时结束呢？

更具题目备注：

答案的计算误差小于 10^-5

即，当二分法的查找区间，两端距离小于10^-5，就可以结束二分查找了。

嗯嗯，现在，我们已经通过二分查找，找到一个可能是子序列最大平均值的midAvg了，现在该如何验证这个midAvg是不是符合要求的呢？

符合啥要求呢？

即数组nums中所有的长度>=k的连续子序列的平均值都<= midVal。

此时midVal就是题解。

但是，上面验证方案，需要求解所有长度>=k的连续子序列，并求平均值。这不是我们所期望的。

我们可以反向思考一下，如果存在一个长度>=k的连续子序列，其平均值 > midVal，那么是不是说当前这个midVal就不是一个符合要求，并且，还有透露出一个重要信息，那就是这个midVal取小了！！

因此下次二分查找时，我们缩小查找范围，因该将此时的midVal作为新范围的左边界，这样再次二分时，取得的新midVal就会变大。

同理，如果所有的长度大于等于k的连续子序列的平均值都 < midVal，则说明该midVal也不是一个符合要求的，并且取大了，因此下次二分查找时，我们应该缩小右边界，让此时的midVal作为新的右边界，这样下次继续二分时，新midVal就会变小。

到此，关于midVal的取值逻辑已经阐述完毕，现在最大的问题是：

上面的逻辑，我们可能需要找出长度大于等于k的所有的连续子序列，然后求平均值，这个在暴力枚举时已经说过了，会超时。

因此，我们需要一个算法，可以高效的找出长度大于等于k的所有的连续子序列。

这里用到了动态规划的前缀和思想。请看下面例子：

有一个数组nums = [a1, a2, a3, a4, a5, ... , aN]，现在要求从其中找到一个长度大于等于k的子数组。

首先，我们利用动态规划前缀和思想，求出以每一个数组元素为结尾的前缀和，公式如下

dp[0] = nums[0]
dp[i] = dp[i-1] + nums[i]

dp[i]表示0~i范围内所有元素的和。

那么nums中一个长度等于k的子数组是不是可以理解为：

从0~i区间内，挖去0~i-k区间，剩余的 i-k ~ i 不就是一个长度为k子数组吗

如果要我们求解长度等于k的子数组的和，那不就是：

dp[i] - dp[i-k]

但是现在，本题要求解的是：

长度 大于等于 k 的子数组，且该子数组的和要最大

首先，长度大于等于k的实现很简单，就是将

从0~i区间内，挖去0~i-x区间，其中x>=k，这样的话剩下的区间不就是一个大于等于k的子数组嘛

之后，是子数组的和最大，这个实现和被挖去的区间有关：

现在被挖去的区间可能为：

0~0

0~1

0~2

...

0~i-k

如果想让剩余区间的和最大，那么被挖去的区间的和要最小！！

即，在上面被挖去的区间内找到一个最小和的区间，而这个最小和的区间我们可以在求解前缀和的过程中记录下来，具体实现看下面代码。

现在，我们已经得到了一个最大和且长度>=k的子数组。

但是现在我们需要求解的是最大平均值且长度 >= k 的子数组。

所以，现在的问题就是，把对最大平均值的求解，转化为对：最大和的求解。

这个很简单，只要把nums数组元素都减去 midVal 即可。

原理是，本来我们是要，求解nums 某个区间内元素和的平均值，现在假设该区间的元素和平均值是avg，那么是不是等价于验证： (a1 + a2 + a3 + ... + aN) / N == avg

再变化下，是不是等价于

a1 + a2 + a3 + ... + aN == N * avg

再变化下，是不是等价于

(a1 - avg) + (a2 - avg) + (a3 - avg) + ... + (aN - avg) == 0

如果avg取大了，则 (a1 - avg) + (a2 - avg) + (a3 - avg) + ... + (aN - avg) < 0

如果avg取小了，则 (a1 - avg) + (a2 - avg) + (a3 - avg) + ... + (aN - avg) > 0

JS算法源码

function getResult(nums, k) {let minAvg = Infinity;let maxAvg = -Infinity;for (let num of nums) {minAvg = Math.min(num, minAvg);maxAvg = Math.max(num, maxAvg);}const diff = 1e-5;while (maxAvg - minAvg >= diff) {let midAvg = (minAvg + maxAvg) / 2;if (check(nums, k, midAvg)) {minAvg = midAvg;} else {maxAvg = midAvg;}}return minAvg.toFixed(2);
}function check(nums, k, avg) {let sum = 0;for (let i = 0; i < k; i++) {sum += nums[i] - avg;}if (sum >= 0) {return true;}let pre_sum = 0;let min_pre_sum = 0;for (let i = k; i < nums.length; i++) {sum += nums[i] - avg;pre_sum += nums[i - k] - avg;min_pre_sum = Math.min(pre_sum, min_pre_sum);if (sum - min_pre_sum >= 0) {return true;}}return false;
}// 用例1
console.log(getResult([1, 12, -5, -6, 50, 3], 4));
// 用例2
console.log(getResult([1, 12, -5, -6, 50, 3, 90, 80, -100], 4));

Java算法源码

public class Main {public static void main(String[] args) {//    int k = 4;//    int[] nums = {1, 12, -5, -6, 50, 3};int k = 4;int[] nums = {1, 12, -5, -6, 50, 3, 90, 80, -100};System.out.println(getResult(nums, k));}public static String getResult(int[] nums, int k) {double minAvg = Integer.MAX_VALUE;double maxAvg = Integer.MIN_VALUE;for (int num : nums) {minAvg = Math.min(num, minAvg);maxAvg = Math.max(num, maxAvg);}double diff = 1e-5;while (maxAvg - minAvg >= diff) {double midAvg = (minAvg + maxAvg) / 2;if (check(nums, k, midAvg)) {minAvg = midAvg;} else {maxAvg = midAvg;}}return String.format("%.2f", minAvg).toString();}public static boolean check(int[] nums, int k, double avg) {double sum = 0;for (int i = 0; i < k; i++) {sum += nums[i] - avg;}if (sum >= 0) return true;double preSum = 0;double minPreSum = 0;for (int i = k; i < nums.length; i++) {sum += nums[i] - avg;preSum += nums[i - k] - avg;minPreSum = Math.min(preSum, minPreSum);if (sum - minPreSum >= 0) {return true;}}return false;}
}