题目

如下图所示，在一个正方体的铁丝骨架上有只小虫在爬行。小虫从A点出发想要爬到G点，但是由于铁丝非常细，而小虫又看不清楚路，所以小虫的爬行有两个特点：

从铁丝架上的一点到另一点时的过程中不会掉头返回。如从A点至B点，在到达B点前不会掉头；
在某一点向其他方向出发时，选择的方向完全是随机的。如在A点有BDE三个方向，每个方向选择的概率都是三分之一。

问题：小虫平均要经过几个点才能到达点G？

分析

如果直接使用数学计算，我们大概可以使用以下的公式进行计算：

EN=lim⁡n→+∞∑3n(13)nnpn=lim⁡n→+∞∑3nn3npnE_N = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum^{n}_{3} (\frac{1}{3})^nnp_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum^{n}_{3} \frac{n}{3^n}p_n EN=n→+∞lim3∑n(31)nnpn=n→+∞lim3∑n3nnpn
其中，ENE_NEN 表示平均步数的期望值，nnn表示步长，pnp_npn表示步长为n 的组合。由于至少要3步才能到达G，所以nnn的下限为3。由于每长一步，概率会变为原来的 13\frac{1}{3}31，所以系数为 (13)3(\frac{1}{3})^3(31)3。举例来说，当 n=3n = 3n=3时，系数为 127\frac{1}{27}271，而所有的组合有6种:[ABCG, ABFG, ADCG, ADHG, AEFG, AEHG]，所以步长为 (13)3∗3∗8=89(\frac{1}{3})^3*3*8 = \frac{8}{9}(31)3∗3∗8=98。

由于由于 pnp_npn 是常数，而 3n3^n3n 是比 nnn 高阶的无穷大，所以极限收敛。所以结果只可以计算，ENE_NEN为一个定值。然而，由于无法进行pnp_npn，即所有的 nnn 的组合的计算，所以很难使用数学方法进行直接计算。因此，我们利用计算机的高速计算能力进行模拟测试，则可以得出大概次数。

算计设计

总体思路
设计一个选择函数，模拟小虫的一次路径的选择，接着模拟一次小虫子走过的路径，最后进行大量的实验，求出平均值。
具体实现
首先，使用一个二维数组表示连接关系，使用0-7分别对应A-G，我们可以得到以下的二维数组。

 static int[][] directions = { { 1, 3, 4 }, { 0, 2, 5 }, { 1, 6, 3 },{ 0, 2, 7 }, { 0, 5, 7 }, { 1, 4, 6 },{ 2, 5, 7 }, { 3, 4, 6 } };

这样， directions[0] 表示所对应的一维数组在A点可以选择的三个方向为1，3，4，即A，D，E。以此类推，然后使用随机函数，从三个中选择一个即可。详细代码见附录。

测试

我们使用StringBuilder记录中间的过程，通过在主函数中调用 test(10) ，我们可以得到一个结果如下所示。

Steps: 15    Path: ADHEAEFEAEAEFEFG
Steps: 7    Path: ABABCDHG
Steps: 3    Path: ABFG
Steps: 25   Path: ABAEHDCBCBABADCDADHDHDHDHG
Steps: 3    Path: AEHG
Steps: 15   Path: ABABFEADCBFEHEFG
Steps: 7    Path: ABABFBCG
Steps: 5    Path: AEFBCG
Steps: 3    Path: AEFG
Steps: 3    Path: ABFG

结果与预期的一致。

结论

现在执行附录中的源代码中的主函数，可以得到最终结果：Average steps: 10.0164
即，平均的步数是10步，去除A点和G点，平均要经过的点是8个。

附录：源代码


public class WormSimulation {// 方向选择数组static int[][] directions = { { 1, 3, 4 }, { 0, 2, 5 }, { 1, 6, 3 },{ 0, 2, 7 }, { 0, 5, 7 }, { 1, 4, 6 },{ 2, 5, 7 }, { 3, 4, 6 } };public static void main(String[] args) {int totalSteps = 0;   // 小虫总步长。int totalTimes = 10000; // 测试10000次。for(int i = 0; i < totalTimes; i++)totalSteps+= runOnce(); // 累加每次测试爬过的步数。System.out.println("Average steps: " + (1.0*totalSteps/totalTimes));}// 模拟一次小虫从A到G的过程，返回总用步长。static int runOnce() {int p = 0;int steps = 0;while (p != 6) {p = directions[p][(int) (Math.random() * 3)];steps++;}return steps; }static void test(int times) {for (int i = 0; i < times; i++) {int p = 0;int steps = 0;StringBuilder sb = new StringBuilder();sb.append("A");while (p != 6) {p = directions[p][(int) (Math.random() * 3)];sb.append((char) (p + 65));steps++;}System.out.println("Steps: " + steps + "\tPath: " + sb.toString());}}
}

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使用蒙特卡洛技术解决一个小虫爬铁丝问题。

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算计设计

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附录：源代码

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