数学分析导数与微分(第5章)

一.导数
1.定义
(1)2个与导数相联系的问题:

–i.瞬时速度:
平均速度vˉ=s(t)−s(t0)t−t0\bar{v}=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}vˉ=t−t0s(t)−s(t0)
瞬时速度v=lim⁡t→t0s(t)−s(t0)t−t0v=\displaystyle \lim_{t \to t_0}{\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}}v=t→t0limt−t0s(t)−s(t0)

–ii切线的斜率:
割线的斜率kˉ=f(x)−f(x0)x−x0\bar{k}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}kˉ=x−x0f(x)−f(x0)
切线的斜率k=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0k=\displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}k=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)

(2)导数的定义:

(3)有限增量公式:

由公式(5)可推得定理5.1:若函数f在点x₀处可导,则f在x₀处连续

(4)单侧导数:

类似单侧极限与极限的关系,有定理5.2:
若y=f(x)y=f(x)y=f(x)在某U(x0)U(x_0)U(x0)上有定义,则f′(x0)f'(x_0)f′(x0)存在的充要条件是:f+′(x0),f−′(x0)f'_+(x_0),f'_-(x_0)f+′(x0),f−′(x0)均存在,且f+′(x0)=f−′(x0)f'_+(x_0)=f'_-(x_0)f+′(x0)=f−′(x0)

导函数的左(右)极限与左(右)导数

2.导函数:

3.导数的几何意义
(1)几何意义:切线的斜率

(2)极值点:

(3)费马定理(定理5.3)与驻点:

设函数f在某U(x₀)上有定义,且在x₀处可导;若x₀为f的极值点,则必由f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0

证明:

二.求导法则

总结:
①(u±v)′=u′±v′(u±v)'=u'±v'(u±v)′=u′±v′
②(uv)’=u’v+uv’
\quad特别地,当v=c(c为常数),(cu)′=cu′(cu)'=cu'(cu)′=cu′
③(uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}(vu)′=v2u′v−uv′
\quad特别地,当u=1,(1v)′=−v′v2(\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2}(v1)′=−v2v′
④反函数导数:dydx=1dxdy\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}dxdy=dydx1
⑤复合函数导数:dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}dxdy=dudy⋅dxdu

1.导数的四则运算:

定理5.4:若u(x),v(x)u(x),v(x)u(x),v(x)在x₀处可导,则f(x)=u(x)±v(x)f(x)=u(x)±v(x)f(x)=u(x)±v(x)在x₀处可导,且f′(x0)=u′(x0)±v′(x0)公式(1)f'(x_0)=u'(x_0)±v'(x_0)\qquad公式(1)f′(x0)=u′(x0)±v′(x0)公式(1)

定理5.5:若u(x),v(x)u(x),v(x)u(x),v(x)在x₀处可导,则f(x)=u(x)⋅v(x)f(x)=u(x)·v(x)f(x)=u(x)⋅v(x)在x₀处可导,且f′(x0)=u′(x0)⋅v(x0)+v′(x0)⋅u(x0)公式(2)f'(x_0)=u'(x_0)·v(x_0)+v'(x_0)·u(x_0)\qquad公式(2)f′(x0)=u′(x0)⋅v(x0)+v′(x0)⋅u(x0)公式(2)
\quad利用数学归纳法可将定理5.5推广到任意有限个函数乘积的情况,如:(uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’
推论:若v(x)v(x)v(x)在x₀处可导,c为常数,则(c⋅v(c))x=x0′=c⋅v′(x0)公式(3)(c·v(c))'_{x=x_0}=c·v'(x_0)\qquad公式(3)(c⋅v(c))x=x0′=c⋅v′(x0)公式(3)

定理5.6:若u(x),v(x)u(x),v(x)u(x),v(x)在x₀处可导,且v(x0)≠0v(x_0)≠0v(x0)=0,则f(x)=u(x)v(x)f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}f(x)=v(x)u(x)在x₀也可导,且f′(x0)=u′(x0)⋅v(x0)−u(x0)⋅v′(x0)[v(x0)2]公式(4)f'(x_0)=\frac{u'(x_0)·v(x_0)-u(x_0)·v'(x_0)}{[v(x_0)^2]}\qquad公式(4)f′(x0)=[v(x0)2]u′(x0)⋅v(x0)−u(x0)⋅v′(x0)公式(4)

2.反函数的导数

定理5.7:设y=f(x)y=f(x)y=f(x)为x=φ(x)x=φ(x)x=φ(x)的反函数,若φ(y)φ(y)φ(y)在某U(y₀)上连续,严格单调且φ(y0)≠0φ(y_0)≠0φ(y0)=0,则f(x)在x0(x0=φ(y0))x_0(x_0=φ(y_0))x0(x0=φ(y0))处可导,且f′(x0)=1φ′(y0)公式(6)f'(x_0)=\frac{1}{φ'(y_0)}\qquad公式(6)f′(x0)=φ′(y0)1公式(6)

注意:利用公式(6)求得的导函数是关于y的函数,需要再带入y=f(x)y=f(x)y=f(x)才能得到最终结果

3.复合函数的导数
(1)引理:

f(x)f(x)f(x)在x₀处可导的充要条件是:在某U(x₀)上,∃1个在x₀处连续的函数H(x)H(x)H(x),使f(x)−f(x0)=H(x)(x−x0)f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0)f(x)−f(x0)=H(x)(x−x0),从而f′(x0)=H(x0)f'(x_0)=H(x_0)f′(x0)=H(x0)

引理说明x₀是g(x)=f(x)−f(x0)x−x0g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x)=x−x0f(x)−f(x0)的可去间断点的充要条件是f(x)在x₀处可导,这个结论可以推广到向量函数的导数

(2)定理5.8:

设u=φ(x)u=φ(x)u=φ(x)在x₀处可导,y=f(u)在点u₀=φ(x₀)可导,则复合函数f○φ在x₀可导,且(f○φ)′(x0)=f′(u0)⋅φ′(x0)=f′(φ(x0))φ′(x0)公式(7)(f○φ)'(x_0)=f'(u_0)·φ'(x_0)=f'(φ(x_0))φ'(x_0)\qquad公式(7)(f○φ)′(x0)=f′(u0)⋅φ′(x0)=f′(φ(x0))φ′(x0)公式(7)

说明:公式(7)也被称为链式法则,y=f(u),u=φ(x)的复合函数在x的求导公式一般写作dydx=dydu⋅dudx公式(8)\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}\qquad公式(8)dxdy=dudy⋅dxdu公式(8)对于由多个函数复合而得到的复合函数,其导数公式可通过反复应用公式(8)得到
注意:区分f′(φ(x))=f′(u)∣u=φ(x)f'(φ(x))=f'(u)|_{u=φ(x)}f′(φ(x))=f′(u)∣u=φ(x)与(f(φ)))′=f′(φ(x))⋅φ′(x)(f(φ)))'=f'(φ(x))·φ'(x)(f(φ)))′=f′(φ(x))⋅φ′(x)的含义:前者表示f对u的导数,其中u=φ(x);后者表示复合函数f○φ对x的导数

4.基本初等函数导数公式:

①(c)′=0(c为常数)(c)'=0(c为常数)(c)′=0(c为常数)

②(xα)′=α⋅xα−1(α为∀实数)(x^α)'=α·x^{α-1}(α为∀实数)(xα)′=α⋅xα−1(α为∀实数)

③(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx,(tanx)′=sec2x,(cotx)′=−csc2x,(secx)′=secx⋅tanx,(cscx)′=−cscx⋅cotx(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=sec^2x,(cotx)'=-csc^2x,(secx)'=secx·tanx,(cscx)'=-cscx·cotx(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx,(tanx)′=sec2x,(cotx)′=−csc2x,(secx)′=secx⋅tanx,(cscx)′=−cscx⋅cotx

④(arcsinx)′=11−x2,(arccosx)′=−11−x2,(arctanx)′=11+x2,(arccotx)′=−11+x2(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(arctanx)'=\frac{1}{1+x^2},(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}(arcsinx)′=1−x21,(arccosx)′=−1−x21,(arctanx)′=1+x21,(arccotx)′=−1+x21

⑤(ax)′=ax⋅lna(a>0且a≠1)(a^x)'=a^x·lna(a>0且a≠1)(ax)′=ax⋅lna(a>0且a=1)
特别地,(ex)′=ex\quad特别地,(e^x)'=e^x特别地,(ex)′=ex

⑥(loga∣x∣)′=1xlna(a>0且a≠1)(log_a|x|)'=\frac{1}{xlna}(a>0且a≠1)(loga∣x∣)′=xlna1(a>0且a=1)
特别地,(ln∣x∣)′=1x\quad特别地,(ln|x|)'=\frac{1}{x}特别地,(ln∣x∣)′=x1

5.参变量函数的导数:

设有方程组{x=φ(t)y=ψ(t)α≤t≤β{\begin{cases}x=φ(t)\\y=\psi(t)\end{cases}}{\qquadα≤t≤β}{x=φ(t)y=ψ(t)α≤t≤β若φ(t),ψ(t)\psi(t)ψ(t)均可导,φ’(t)≠0且x=φ(t)有反函数t=φ^-1(x),则有dydx=dydt⋅dtdx=dydtdxdt=ψ′(t)φ(t)\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}·\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{ψ'(t)}{φ(t)}dxdy=dtdy⋅dxdt=dtdxdtdy=φ(t)ψ′(t)

三.高阶导数
1.定义:

2.运算法则:

对加减法:[u±v](n)=u(n)±v(n)[u±v]^{(n)}=u^{(n)}±v^{(n)}[u±v](n)=u(n)±v(n)
对乘法(莱布尼兹公式):(u⋅v)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)(u·v)^{(n)}=\displaystyle \sum^{n}_{k= 0}{C^k_nu^{(n-k)}v^{(k)}}(u⋅v)(n)=k=0∑nCnku(n−k)v(k),其中u(0)=u,v(0)=vu^{(0)}=u,v^{(0)}=vu(0)=u,v(0)=v

四.微分
1.可微与微分
(1)概念:

(2)几何解释:

2.可微的条件:

定理5.9:函数f在x₀处可微的充要条件是:f在x₀处可导,其(1)式中的A=f′(x0)A=f'(x_0)A=f′(x0)

3.可微函数与微商:

3.微分的运算法则:
由导数与微分的关系可得:
①d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)
②d[u(x)⋅v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)d[u(x)·v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)d[u(x)⋅v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)
③d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)−u(x)dv(x)v2(x)(v(x)≠0)d[\frac{u(x)}{v(x)}]=\frac{v(x)du(x)-u(x)dv(x)}{v^2(x)}(v(x)≠0)d[v(x)u(x)]=v2(x)v(x)du(x)−u(x)dv(x)(v(x)=0)
④d[f○g(x)]=f′(u)⋅g′(x)dx,其中u=g(x)d[f○g(x)]=f'(u)·g'(x)dx,其中u=g(x)d[f○g(x)]=f′(u)⋅g′(x)dx,其中u=g(x)

4.一阶微分形式的不变形:

5.高阶微分:
(1)概念:

(2)高阶微分不具有形式的不变性:

x为自变量时仍可写为d2y=f′′(x)dx2+f′(x)d2xd^2y=f''(x)dx^2+f'(x)d^2xd2y=f′′(x)dx2+f′(x)d2x,并且此时x=x(或x=t),故d2x=0d^2x=0d2x=0,故d2y=f′′(x)dx2d^2y=f''(x)dx^2d2y=f′′(x)dx2;同理,当x=c⋅tx=c·tx=c⋅t,也具有微分的形式不变形
可以理解为:用φ′(t)dtφ'(t)dtφ′(t)dt近似dx时,会产生1个o(Δt)o(\Delta t)o(Δt)的误差,但φ′(t)dtφ'(t)dtφ′(t)dt仍被作为dx使用,求高阶微分时不能忽略由此产生的误差,因为此时的误差至多为o[(Δt)2]o[(\Delta t)^2]o[(Δt)2]

6.微分在近似计算中的应用
(1)函数的近似计算:

(2)误差估计:

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