无界弦自由振动

达朗贝尔公式

应用范围：
无界弦的自由振动问题
{utt=a2uxxu∣t=0=ϕ(x)ut∣t=0=φ(x)\begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx} \\ u|_{t=0}=\phi(x) \\ u_t|_{t=0} = \varphi(x) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧utt=a2uxxu∣t=0=ϕ(x)ut∣t=0=φ(x)

达朗贝尔公式
u(x,t)=12[ϕ(x+at)+ϕ(x−at)]+12a∫x−atx+atφ(x)dxu(x,t)=\frac{1}{2}[\phi(x+at)+\phi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at} \varphi(x)dx u(x,t)=21[ϕ(x+at)+ϕ(x−at)]+2a1∫x−atx+atφ(x)dx

题目：达朗贝尔公式解一维无界弦自由振动问题[1]

强迫振动

达朗贝尔公式

应用范围：
强迫振动问题（非齐次无界弦振动问题）
{utt−a2uxx=f(x,t)u∣t=0=ϕ(x)ut∣t=0=φ(x)\begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t) \\ u|_{t=0}=\phi(x) \\ u_t|_{t=0} = \varphi(x) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧utt−a2uxx=f(x,t)u∣t=0=ϕ(x)ut∣t=0=φ(x)

达朗贝尔公式
u(x,t)=12[ϕ(x+at)+ϕ(x−at)]+12a∫x−atx+atφ(x)dx+12a∫0t∫x−(a−τ)x+(a−τ)f(ϵ,τ)dϵdτu(x,t)=\frac{1}{2}[\phi(x+at)+\phi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at} \varphi(x)dx+\\ \frac{1}{2a} \int_{0}^{t}\int_{x-(a-\tau)}^{x+(a-\tau)} f(\epsilon,\tau)d\epsilon d\tau u(x,t)=21[ϕ(x+at)+ϕ(x−at)]+2a1∫x−atx+atφ(x)dx+2a1∫0t∫x−(a−τ)x+(a−τ)f(ϵ,τ)dϵdτ

题目：达朗贝尔公式解强迫振动问题

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