信号与系统（13）- 傅里叶变换的性质
了解傅里叶变换的性质，对于求解信号的傅里叶变换会有帮助，但是通常来说，可以通过使用EDA工具，如MATLAB等进行仿真求得。这里仅做总结。
傅里叶变换的性质：
如果存在信号 f ( t ) f(t) f(t)，则其傅里叶变换记为 F ( j ω ) F(j\omega) F(jω)。
线性特性：
- 信号和的傅里叶变换等于信号的傅里叶变换的和
- a ⋅ f 1 ( t ) + b ⋅ f 2 ( t ) ⟷ a ⋅ F 1 ( j ω ) + b ⋅ F 2 ( j ω ) a\cdot f_1(t) +b\cdot f_2(t) \longleftrightarrow a\cdot F_1(j\omega)+b\cdot F_2(j\omega) a⋅f1(t)+b⋅f2(t)⟷a⋅F1(jω)+b⋅F2(jω)
延时特性：
- 信号 f ( t ) f(t) f(t)时域上延时 f ( t − t 0 ) f(t-t_0) f(t−t0)，对应到频域是在原信号 f ( t ) f(t) f(t)傅里叶变换 F ( j ω ) F(j\omega) F(jω)上乘以 e j ω t 0 e^{j\omega t_0} ejωt0
- f ( t − t 0 ) ⟷ F ( j ω ) e − j ω t 0 f(t-t_0)\longleftrightarrow F(j\omega)e^{-j\omega t_0} f(t−t0)⟷F(jω)e−jωt0
移频特性：
- 这是一个与延时特性对偶的性质，即如果在时域上将信号乘以 e j ω c t e^{j\omega_c t} ejωct，则对应的频域将延迟 ω c \omega_c ωc
- f ( t ) e j ω c t ⟷ F [ j ( ω − ω c ) ] f(t)e^{j\omega_c t} \longleftrightarrow F[j(\omega-\omega_c)] f(t)ejωct⟷F[j(ω−ωc)]
- 这个性质有一个推论：即AM波调制： f ( t ) c o s ( ω c t ) ⟷ 1 2 { F [ j ( ω + ω c ) ] + F [ j ( ω − ω c ] } f(t)cos(\omega_c t) \longleftrightarrow \frac{1}{2}\{F[j(\omega +\omega_c)]+F[j(\omega -\omega_c]\} f(t)cos(ωct)⟷21{F[j(ω+ωc)]+F[j(ω−ωc]}
尺度变换：
- 信号的宽度 τ \tau τ在时间上压缩a倍，信号的频率宽度B将在频率上扩展a倍。
- f ( a t ) ⟷ 1 ∣ a ∣ F ( j ω a ) f(at) \longleftrightarrow \frac{1}{\vert{a}\vert} F(j\frac{\omega}{a}) f(at)⟷∣a∣1F(jaω)
奇偶特性：
如果 f ( t ) f(t) f(t)是实数信号:
F ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt F(jω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt
= ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) c o s ( ω t ) d t − j ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) s i n ω t ) d t = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos(\omega t)dt - j\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)sin\omega t)dt =∫−∞+∞f(t)cos(ωt)dt−j∫−∞+∞f(t)sinωt)dt
= R ( ω ) − j X ( ω ) = ∣ F ( j ω ) ∣ e j φ ( ω ) = R(\omega) - jX(\omega)=\vert F(j\omega) \vert e^{j\varphi (\omega)} =R(ω)−jX(ω)=∣F(jω)∣ejφ(ω)
R ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) c o s ( ω t ) d t R(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos(\omega t)dt R(ω)=∫−∞+∞f(t)cos(ωt)dt，是 F ( j ω ) F(j\omega) F(jω)的实部， $X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)sin(\omega t)dt ， 是 ，是 ，是F(j\omega$的虚部。
∣ F ( j ω ) ∣ \vert F(j\omega) \vert ∣F(jω)∣是 F ( j ω ) F(j\omega) F(jω)的幅度
φ ( ω ) = a r c t a n ( X ( ω ) R ( ω ) ) \varphi(\omega) = arctan(\frac{X(\omega)}{R(\omega)}) φ(ω)=arctan(R(ω)X(ω))，是 F ( j ω ) F(j\omega) F(jω)的相角
实部是 ω \omega ω的偶函数，虚部是 ω \omega ω的奇函数
幅度 ∣ F ( j ω ) ∣ \vert F(j\omega) \vert ∣F(jω)∣是 ω \omega ω的偶函数， φ ( ω ) = a r c t a n ( X ( ω ) R ( ω ) ) \varphi(\omega) = arctan(\frac{X(\omega)}{R(\omega)}) φ(ω)=arctan(R(ω)X(ω))是 ω \omega ω的奇函数
f ( − t ) ⟷ F ( − j ω ) f(-t) \longleftrightarrow F(-j\omega) f(−t)⟷F(−jω)， f ∗ ( t ) ⟷ F ∗ ( − j ω ) f^*(t) \longleftrightarrow F^*(-j\omega) f∗(t)⟷F∗(−jω)， f ∗ ( − t ) ⟷ F ∗ ( j ω ) f^*(-t) \longleftrightarrow F^*(j\omega) f∗(−t)⟷F∗(jω)
对称特性：
- 如果 f ( t ) ⟷ F ( j ω ) f(t) \longleftrightarrow F(j\omega) f(t)⟷F(jω)，则 F ( j t ) ⟷ 2 π f ( − ω ) F(jt) \longleftrightarrow 2\pi f(-\omega) F(jt)⟷2πf(−ω)
微分特性：
- 如果 d d t f ( t ) \frac{d}{dt}f(t) dtdf(t)满足Direchlet条件，则： d d t d t ⟷ j ω F ( j ω ) \frac{d}{dt}dt \longleftrightarrow j\omega F(j\omega) dtddt⟷jωF(jω)
- d n d t n f ( t ) ⟷ ( j ω ) n F ( j ω ) \frac{d^n}{dt^n}f(t) \longleftrightarrow (j\omega)^nF(j\omega) dtndnf(t)⟷(jω)nF(jω)
积分特性：
- ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ ⟷ π F ( 0 ) δ ( ω ) + 1 j ω F ( j ω ) \int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau \longleftrightarrow \pi F(0)\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}F(j\omega) ∫−∞tf(τ)dτ⟷πF(0)δ(ω)+jω1F(jω)
频域的微积分：
- − j t ⋅ f ( t ) ⟷ d d ω F ( j ω ) -jt\cdot f(t) \longleftrightarrow \frac{d}{d\omega}F(j\omega) −jt⋅f(t)⟷dωdF(jω)
- π f ( 0 ) δ ( t ) + j f ( t ) t f ( t ) ⟷ ∫ − ∞ ω F ( j Ω ) d Ω \pi f(0) \delta(t) +j\frac{f(t)}{t}f(t) \longleftrightarrow \int_{-\infty}^{\omega}F(j\Omega)d\Omega πf(0)δ(t)+jtf(t)f(t)⟷∫−∞ωF(jΩ)dΩ
- π δ ( t ) + j 1 t f ( t ) ⟷ ∫ − ∞ ω F ( j Ω ) d Ω \pi \delta(t)+ j\frac{1}{t}f(t) \longleftrightarrow \int_{-\infty}^{\omega}F(j\Omega)d\Omega πδ(t)+jt1f(t)⟷∫−∞ωF(jΩ)dΩ
- ( − j t ) n f ( t ) ⟷ d n d ω n F ( j ω ) (-jt)^nf(t) \longleftrightarrow \frac{d^n}{d\omega^n}F(j\omega) (−jt)nf(t)⟷dωndnF(jω)
卷积定理：
- 时域的卷积等于频域的乘积，时域的乘积等于频域的卷积
- f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ⟷ F 1 ( j ω ) ⋅ F 2 ( j ω ) f_1(t) * f_2(t) \longleftrightarrow F_1(j\omega) \cdot F_2(j\omega) f1(t)∗f2(t)⟷F1(jω)⋅F2(jω)
- f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) ⟷ 1 2 π F 1 ( j ω ) ∗ F 2 ( j ω ) f_1(t)\cdot f_2(t) \longleftrightarrow \frac{1}{2\pi} F_1(j\omega)*F_2(j\omega) f1(t)⋅f2(t)⟷2π1F1(jω)∗F2(jω)
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