运筹优化（六）--目标规划定义及解法

1.目标规划的提出

线性规划的目标函数是单目标，但企业实际的经营管理中，需要完成多项指标，如企业计划中就包括产量、质量、利润、交货期等多项指标组成一个指标体系，均要全面完成，但是，这些指标的度量单位不同，各个指标的重要程度也不同，线性规划难以给出实际的答案，但是，在一定的约束条件下，多目标要求往往相互矛盾，造成无可行解域，提不出供决策参考的答案，从而失去实际决策价值。这些问题需用目标规划来加以解决。

例1：某工厂生产A、B两种产品，已知有关数据如表1示，试求获利最大的方案。

表1

产品资源	A	B	拥有量
原材料（Kg）	2	1	11
设备（台时）	1	2	10
利润（元/件）	8	10

解：这是单目标的线性规划问题，设产品A、B各生产x1、x2件，建模如下：

用图解法，求得最优决策方案为：　　

现在，由于经营管理需要，又提出了四项要求：

（1）根据市场信息，产品A的销量有下降趋势，故A产品的产量不大于B产品。

（2）超过计划供应的原材料时，需用高价采购，故希望尽量不超过原材料的供应量。

（3）应尽可能充分利用设备，但不希望加班。

（4）应可能达到并超过计划利润指标。

现在企业该如何决策？

这样在考虑产品生产决策时，便为多目标决策问题。目标规划方法是解决这类决策问题的方法之一。下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2.目标规划的有关概念及模型

目标规划是求一组变量的解，在满足一组资源约束和目标约束条件下，实现管理目标与实际可达目标之间的偏差最小。在其数模中，引入以下概念：

（1）偏差变量di：表示实际值与目标值之间的差距。

di+正偏差，表示超过目标值的偏差绝对值。di－负偏差，表示未达目标值的偏差绝对值。
偏差变量之间的性质：

①当实际值确定只会大于目标值时，有：di+＞0，而di－＝0。

②当实际值确定只会小于目标值时，有：di－＞0，而di+＝0。

③实际值等于目标值时，有di+＝di－＝0

④任何一种情况下有：

（2）硬约束与软约束

①　硬约束：指必须严格满足的等式约束和不等式约束。这些约束是由客观条件限定的，管理者无法控制，故不应考虑其偏差变量。

②　软约束：实现起来可以有偏差（di）的管理目标约束。

例如：原目标函数：，现在提出利润管理目标值56元，实现结果可能有正偏差di+，也可能有负偏差di－，于是构成软约束方程：。超利润目标时，超额利润为di+，达不到利润目标时，欠额利润为di－，恰好达到目标时，，di+＝di－＝0

（3）目标规划的目标函数

目标规划追求的是管理目标优化，即要求目标量满足目标优化的需要，所以目标规划的目标函数应表示为所有目标约束方程中偏差量的函数，这是目标规划与单目标规划的最明显标志。

对于例1中的第一个目标，x1≤x2目标约束一般写成： $x1 - x2 + d1^{-} - d1^{+} = 0$

因为实际的产量x1可能大于x2，也可能小于x2，所以d1－，d1+出现一个，但管理目标要求因不能满足x1≤x2，而出现的正偏差d1+越小越好（尽可能缩小偏差目标值），所以目标函数写为：

第二个目标：尽可能充分利用设备，但又不希望加班，目标约束写成：

，这时的管理目标是都尽可能小，所以目标函数写为：

对于利润目标：，即允许超过目标，如果达不到目标值，希望负偏差越小越好。

（4）目标的优先等级和权系数

一个规划问题有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次和轻重缓急的不同，规定：PK＞＞PK＋1，即PK＋1目标等级低，如果PK与PK＋1级目标有矛盾时，应首先满足PK级目标。

对于例1中的三个目标，如优先考虑x1≤x2，则对其目标函数赋予优先因子P1，在满足第一级目标的前提下，才考虑第二级目标：充分利用设备，最后才是利润目标。

故目标函数写成：

对于几个具有相同优先等级的目标，也可赋予不同的权系数，表示其重要程度的不同。

故对于例1的目标规划数模为：

　　综合以上分析，我们可以写出例1中的目标规划数学模型。

3.目标规划的图解法

当决策变量只有2个时，用图解法。

例1：某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电视机，需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。预计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元，黑白电视机的销量是30台，每台可获利40元。该厂的管理目标是：

第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时；

第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不超过10小时。

第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。因彩色电视机的利润高，取其权系数为2。

试建立该问题的目标规划模型。

解：设彩色和黑白电视机各生产x1、x2，则：

用图解法求解时，先在平面直角坐标系的第一象限内，作各约束条件。绝对约束条件的作用与线性规划相同。作目标约束时，先令，＝０，作相应的直线，然后在这直线旁标上，的方向（正、负偏差区域）。如对于第二个目标：可以达不到50个小时，即d2－＞0，但若超过50小时，希望min d2+，即目标朝向d2－＞0移动较好。如图1所示。

图1　目标规划的图解法

图中，在d3＋＞0的区域，d3－＝0的；同理，d3－＞0的区域，d3＋＝0。从图中看到，考虑具有P1、P2级目标实现后，x1、x2的取值范围为ABCD。考虑P3目标要求时，因的权系数大于，故先取=0；这时x1、x2的取值范围为ABEF，在ABEF中，只有点E使d4－取值最小，但不能使d4－＝0，故E为满意解。E点坐标为 (24, 26)，即该厂每周应装配彩色电视机24台，黑白电视机26台。

4.目标规划的单纯形法

目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模型结构形式上没有本质的区别 , 所以可用单纯形法求解。但要考虑目标规划的数学模型一些特点 , 作以下规定 :

(1)因目标规划问题的目标函数都是求最小化,所以以cj -zj≥0,j=1,(2,⋯,n)为最优准则。

(2) 因非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子,即cj -zj =∑αkjPk, j=1,2,⋯,n; k=1,2,⋯,K

因 P1 m P2 m ⋯m PK ; 从每个检验数的整体来看: 检验数的正、负首先决定于P1的系数 α1 j 的正、负。若 α1 j = 0, 这时此检验数的正、负就决定于 P2 的系数 α2 j 的正、负, 下面可依此类推。
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤 :
(1) 建立初始单纯形表,在表中将检验数行按优先因子个数分别列成 K行,置k=1。

(2) 检查该行中是否存在负数, 且对应的前 k - 1 行的系数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入变量,转(3)。若无负数,则转(5)。
(3) 按最小比值规则确定换出变量,当存在两个和两个以上相同的最小比值时,选取具有较高优先级别的变量为换出变量。
(4) 按单纯形法进行基变换运算,建立新的计算表,返回(2)。
(5) 当 k= K时,计算结束。表中的解即为满意解。否则置 k= k+1,返回到(2)

5.灵敏度分析

目标规划的灵敏度分析方法与线性规划相似 , 这里除分析各项系数的变化外 , 还有优先因子的变化问题。