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质点和质点系的动量定理
- 冲量质点的动量定理
- - 冲量
  - 质点的动量定理
- 质点系的动量定理
动量守恒定律动能定律
- 动量守恒定律
- 动能定理
- 质点的动能定理

质点和质点系的动量定理

力的累积效应{F⃗(t)对t的累积→I⃗,Δp⃗F⃗对r⃗累积→W,ΔE⟹\begin{cases} \vec{F}(t)对t的累积 \to \vec{I},\Delta\vec{p} \\ \vec{F}对\vec{r}累积 \to W,\Delta E\end{cases} \Longrightarrow{F(t)对t的累积→I,ΔpF对r累积→W,ΔE⟹{动量、冲量、动量定理、动量守恒定律动能、功、动能定理、机械能守恒定律\begin{cases} 动量、冲量、动量定理、动量守恒定律 \\ 动能、功、动能定理、机械能守恒定律 \end{cases}{动量、冲量、动量定理、动量守恒定律动能、功、动能定理、机械能守恒定律

冲量质点的动量定理

冲量

动量（状态量）：p⃗=mv⃗\vec{p}=m\vec{v}p=mvF⃗=dp⃗dt=d(mv⃗)dt⇒F⃗dt=dp⃗=d(mv⃗)⇒∫t1t2F⃗dt=p⃗2−p⃗1=mv⃗2−mv⃗1\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt} \Rightarrow \vec{F}dt=d\vec{p}=d(m\vec{v})\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt=\vec{p}_2-\vec{p}_1=m\vec{v}_2-m\vec{v}_1F=dtdp=dtd(mv)⇒Fdt=dp=d(mv)⇒∫t1t2Fdt=p2−p1=mv2−mv1
冲量定义（过程量）：I⃗=∫t1t2F⃗dt\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dtI=∫t1t2Fdt

质点的动量定理

微分形式：F⃗dt=dp⃗=d(mv⃗)\vec{F}dt=d\vec{p}=d(m\vec{v})Fdt=dp=d(mv)
积分形式：I⃗=∫t1t2F⃗dt=p⃗2−p⃗1=mv⃗2−mv⃗1\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt=\vec{p}_2-\vec{p}_1=m\vec{v}_2-m\vec{v}_1I=∫t1t2Fdt=p2−p1=mv2−mv1

动量定理\red{动量定理}动量定理：在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。
以上两种形式也可用分量表示，某方向收到冲量，该方向的动量就增加。

质点系的动量定理

对两质点分别用质点动量定理：
{∫t1t2(F⃗1+F⃗12)dt=m1v⃗1−m1v⃗10∫t1t2(F⃗2+F⃗21)dt=m2v⃗2−m2v⃗20\begin{cases}\int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}_1+\vec{F}_{12})dt=m_1\vec{v}_1-m_1\vec{v}_{10}\\ \int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}_2+\vec{F}_{21})dt=m_2\vec{v}_2-m_2\vec{v}_{20} \end{cases}{∫t1t2(F1+F12)dt=m1v1−m1v10∫t1t2(F2+F21)dt=m2v2−m2v20
因为内力和F⃗12+F⃗21=0\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=0F12+F21=0,所以两式相加后：
∫t1t2(F⃗1+F⃗2)dt=(m1v⃗1+m2v⃗2)−(m1v⃗10+m2v⃗20)\int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}_1+\vec{F}_2)dt=(m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2)-(m_1\vec{v}_{10}+m_2\vec{v}_{20})∫t1t2(F1+F2)dt=(m1v1+m2v2)−(m1v10+m2v20)
即：
I⃗=∫t1t2F⃗exdt=∑i=1nmiv⃗i−∑i=1nmiv⃗i0=p⃗−p⃗0\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}^{ex}dt=\sum_{i=1}^{n}m_i\vec{v}_i-\sum_{i=1}^{n}m_i\vec{v}_{i0}=\vec{p}-\vec{p}_0I=∫t1t2Fexdt=i=1∑nmivi−i=1∑nmivi0=p−p0
质点系动量定理：\red{质点系动量定理：}质点系动量定理：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。
注意：要区分内力和外力，内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量。

(1)FFF为恒力，I⃗=F⃗Δt\vec{I}=\vec{F}\Delta tI=FΔt

(2)FFF为变力，I⃗=∫t1t2F⃗dt=F⃗‾(t2−t1)\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt= \overline {\vec{F}}(t_2-t_1)I=∫t1t2Fdt=F(t2−t1)(平均冲力\red{平均冲力}平均冲力)
动量定理经常应用于碰撞问题

在Δp⃗一定时，Δt越小，F⃗‾越大\Delta \vec{p}一定时，\Delta t越小， \overline {\vec{F}}越大Δp一定时，Δt越小，F越大

动量守恒定律动能定律

动量守恒定律

质点系动量定理：
I⃗=∫t1t2∑iF⃗iex=∑ip⃗i−∑ip⃗i0\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i}^{}\vec{F}_i^{ex}=\sum_{i}^{}\vec{p}_i-\sum_{i}^{}\vec{p}_{i0}I=∫t1t2i∑Fiex=i∑pi−i∑pi0若质点系所受合外力为0：
F⃗ex=∑iF⃗iex=0\vec{F}^{ex}=\sum_{i}^{}\vec{F}_i^{ex}=0Fex=i∑Fiex=0则系统的总动量\blue{总动量}总动量不变————动量守恒定律\red{动量守恒定律}动量守恒定律

动能定理

力的空间累积效应：
做功：\red{做功：}做功：物体在力F⃗\vec{F}F作用下移动Δr⃗⇒\Delta \vec{r} \RightarrowΔr⇒做功W
做功分为恒力下做功和变力下做功：
恒力作用下的功：

W=Fcosθ⋅∣Δt⃗∣=F⃗⋅Δr⃗W=Fcos\theta \cdot |\Delta \vec{t}|=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}W=Fcosθ⋅∣Δt∣=F⋅Δr
变力作用下的功：

dW=F⃗⋅dr⃗=Fcosθ⋅∣dr⃗∣=Fcosθ⋅dsdW=\vec{F}\cdot\ d\vec{r}=Fcos\theta \cdot|d\vec{r}|=Fcos\theta \cdot dsdW=F⋅ dr=Fcosθ⋅∣dr∣=Fcosθ⋅ds⇒W=∫ABF⃗⋅dr⃗=∫ABFcosθ⋅ds\Rightarrow W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot\ d\vec{r}=\int_{A}^{B}Fcos\theta \cdot ds⇒W=∫ABF⋅ dr=∫ABFcosθ⋅ds
其中θ\thetaθ为力与相对应位移的夹角。
(1)关于功的正负：{0o<θ<90o,dW>090o<θ<180o,dW<0θ=90o,F⃗⊥r⃗,dW=0\begin{cases} 0^o<\theta <90^o ,dW>0 \\ 90^o<\theta <180^o ,dW<0 \\ \theta =90^o ,\vec{F} \perp \vec{r},dW=0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧0o<θ<90o,dW>090o<θ<180o,dW<0θ=90o,F⊥r,dW=0
(2)做功的直观图示：

W=∫s1s2FcosθdsW=\int_{s_1}^{s_2}Fcos\theta dsW=∫s1s2Fcosθds
(3)功是一个过程量，与路径有关。
(4)合力的功，等于各分力的功的代数和。

功的单位（焦耳）	1J=1N⋅m1J=1N \cdot m1J=1N⋅m
平均功率	P‾=ΔWΔt\overline{P}=\frac{\Delta W}{\Delta t}P=ΔtΔW
瞬时功率	P=lim⁡Δt→0ΔWΔt=dWdt=F⃗⋅v⃗=FvcosθP=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v}=Fvcos\thetaP=Δt→0limΔtΔW=dtdW=F⋅v=Fvcosθ
功率单位（瓦特）	1W=1J.s−1,1kW=103W1W = 1 J.s^{-1} ,1kW=10^3W1W=1J.s−1,1kW=103W

质点的动能定理

W=∫F⃗⋅dr⃗=∫Ft⋅∣dr⃗∣=∫Ftds=∫mdvdtds=∫v1v2mvdv=12mv22−12mv12=Ek2−Ek1W=\int \vec{F} \cdot d\vec{r}=\int F_t\cdot |d\vec{r}|=\int F_tds=\int m\frac{dv}{dt}ds=\int_{v_1}^{v_2}mvdv=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=E_{k2}-E_{k1}W=∫F⋅dr=∫Ft⋅∣dr∣=∫Ftds=∫mdtdvds=∫v1v2mvdv=21mv22−21mv12=Ek2−Ek1
合外力对质点所做的功，等于质点动能的增量——质点动能定理\red{质点动能定理}质点动能定理
Tips:\red{Tips:}Tips:功是过程量\blue{过程量}过程量，动能是状态量\blue{状态量}状态量
功和动能依赖于惯性系的选取，但对不同惯性系动能定理形式相同。

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