开普勒三大定律和万有引力定律随笔

张昊楠三峡大学物理学系
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本文未完全写完，这只是初稿，先发着，暑假会对本文进行完善

开普勒行星运动定律的发现

开普勒的发现：

1600年的某一天，30岁的开普勒给丹麦天文学家第谷写信，他把自己对天文学的研究成果和想法告诉了第谷，第谷阅读信件后，对开普勒的科学才华十分惊叹，便邀请开普勒来做自己的助手.大约10个月后，第谷便与世长辞，开普勒接下第谷对一些行星的运动的观测数据.凭借强大的数学功底和坚韧的毅力，开普勒对这些数据进行分析，发现了行星沿椭圆轨道运行，并且发现了开普勒行星运动定律（包含开普勒三大定律）.

开普勒三大定律

a.椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上.

b.面积定律：行星和太阳的连线在相同时间间隔内扫过的面积相等

c.调和定律：所有行星绕太阳公转一周的时间T的平方和它们椭圆轨道的半长轴的三次方成比例，即 T 1 2 a 1 2 = T 2 2 a 2 2 \frac{T_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} = \frac{T_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} a12T12=a22T22.

牛顿第二定律和匀速圆周运动

我们知道，牛顿第二定律的表达式： F = k m a F = kma F=kma,在国际单位制下， k k k=1,则 F = m a F = ma F=ma.这个方程揭示了加速度和力的关系，将运动和力联系起来.速度是一个矢量，在圆周运动中，速度的方向时刻都在变化，大小可能发生变化，那么就必然存在一个力来为圆周运动提供加速度.对于太空中绕太阳公转的八大行星，轨迹几乎是一个圆，也几乎是在做匀速圆周运动，那么，必然有一个力为行星的变速运动提供加速度.现在，就通过牛顿第二定律着手求出这个力.

首先，我们求匀速圆周运动下的加速度和周期及半径之间的关系.

如下图1

一质点P绕圆心做速率为v，轨道半径为 R R R的匀速圆周运动.

方法一：

如上图，|CE|=|DF|= v v v

t时刻质点P运动到C点，又经过时间Δ t t t
后运动到D点，当Δt → 0 \rightarrow 0 →0， C D ^ = C D ‾ \widehat{CD} = \overline{CD} CD =CD=vΔt ;

由相似三角形可得： ∣ Δ v → ∣ C D ‾ \frac{\left| \overrightarrow{\Delta v} \right|}{\overline{CD}} CD Δv = v R \frac{v}{R} Rv

则， ∣ Δ v ∣ |\Delta v| ∣Δv∣= v 2 R t \frac{v^{2}}{R}t Rv2t ；

a = v 2 R a = \frac{v^{2}}{R} a=Rv2 (2.1)

对于（2.1），将速率替换为周期T得到

a = ( 2 π R T ) 2 R = 4 π 2 R T 2 a = \frac{\left( \frac{2\pi R}{T} \right)^{2}}{R} = \frac{4\pi^{2}R}{T^{2}} a=R(T2πR)2=T24π2R

(2.2)

方法二：

假设在时刻 t = 0 t = 0 t=0，质点 P P P位于（ R , 0 R,0 R,0）,做匀速圆周运动的角速度为 ω \omega ω，

则，质点的位置矢量和时间的关系为

r → = R ( x ^ cos ⁡ ω t + y ^ sin ⁡ ω t ) \overrightarrow{r} = R\left( \widehat{x}\cos{\omega t} + \widehat{y}\sin{\omega t} \right) r =R(x cosωt+y sinωt)

对上式对时间 t t t两次求导得到*
* a → = − ω 2 R ( x ^ cos ⁡ ω t + y ^ sin ⁡ ω t ) \overrightarrow{a} = - \omega^{2}R\left( \widehat{x}\cos{\omega t} + \widehat{y}\sin{\omega t} \right) a =−ω2R(x cosωt+y sinωt)

注意到： − ( x ^ cos ⁡ ω t + y ^ sin ⁡ ω t ) - \left( \widehat{x}\cos{\omega t} + \widehat{y}\sin{\omega t} \right) −(x cosωt+y sinωt)是一个方向和质点的位置矢量方向相反的单位向量.

将 ω = T 2 π \omega = \frac{T}{2\pi} ω=2πT代入 a = ω 2 R a = \omega^{2}R a=ω2R可得（2.2）式

三.在行星绕太阳公转情景中引入牛顿第二定律

假设太阳系绕太阳公转的行星的周期为T，近似圆轨道半径为R，对于同绕太阳做匀速圆周运动的任意行星，由开普勒第三定律可得 T 2 R 3 = k \frac{T^{2}}{R^{3}} = k R3T2=k，其中 k k k为常数.

则 T 2 = k R 3 T^{2} = kR^{3} T2=kR3 (3.1)

由牛顿第二定律，有： F = m a F = ma F=ma (3.2)，其中 m m m为行星的质量.

将（3.1）代入（2.2）得到结果再代入（3.2）可得：

F = m 4 π 2 k R 2 F = m\frac{4\pi^{2}}{kR^{2}} F=mkR24π2

(3.3)

上式说明太阳与行星之间的引力与行星的质量 m m m成正比，和两者之间距离的平方成反比，又由牛顿第三定律可得，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力大小相等，由对称性可知，太阳与行星之间的引力大小也正比于太阳的质量 M M M.总得来说，太阳与行星之间的引力大小和两者距离的平方成反比，和两者质量的乘积成正比.用方程表述为：

F ∝ 1 R 2 ; F ∝ M m F \propto \frac{1}{R^{2}}\ \ \ \ \ ;\ \ \ F \propto Mm F∝R21 ; F∝Mm

这时，引入一个常量 G G G把上两式统一，得到：

F = G M m R 2 F = G\frac{Mm}{R^{2}} F=GR2Mm

(3.4)

注意，上述推导中，我们认为太阳是处于静止不动的状态，并且认为太阳具有的加速度为0，事实上，相对与太阳而言质量极小的行星能够给太阳的引力是微不足道的，只能让太阳具有在应用上一般可以忽略的加速度.为了体现这一问题，我们在后面将会引入另外一种方法来推导出（3.4）这一结论.并且在那种方法的基础上应用角动量守恒以及能量守恒来证明平方反比定律在椭圆轨道上的依然适用，甚至于在所有的圆锥曲线轨道上均适用，事实上，我认为圆轨道是所有适用情况中最为特殊的一种情况.

本式给出万有引力的大小计算公式，两物体的万有引力的方向在两物体的连线上，指向两物体内侧，这一结论可以通过圆周运动向心力指向圆心自然而然地得到.

众所周知， G G G为万有引力常量，其数值由卡文迪许利用扭称实验测出，

直到1969年 G G G的测量精度还保持在卡文迪许的水平上.

值得一提的是（3.4）的推导是以太空中行星绕太阳做匀速圆周运动为背景得出的，在该背景中，行星和太阳之间的距离远远大于两颗天体的线度，那么不难想到万有引力的一种适用条件：两物体的线度远远小于两物体的距离.

由于质点模型能够很好的满足上面说的条件，万有引力对于两质点之间是成立的.于是，我们利用微积分的思想方法，把一个大的物体分为足够多的质量元，求每个质量元产生的引力，再求和就可以得到两个具有体积但相距不太远的物体之间的引力.

四．由二质点系的的有心力运动来导出平方反比定律 {#四由二质点系的的有心力运动来导出平方反比定律

现在，我们给出一个处于惯性系中的两个质点A、B，质量分别为 m 1 m_{1} m1、 m 2 m_{2} m2，如下图所示.

在这里，我们研究两个质点在仅受到对方的相互作用力时的运动.并且，这个相互作用力是一个有心力.

根据牛顿第二定律给出A的运动学方程： m 1 r 1 → ¨ = f ( r → ) e r → m_{1}\ddot{\overrightarrow{r_{1}}} = f\left( \overrightarrow{r} \right)\overrightarrow{e_{r}} m1r1 ¨=f(r )er
【1-1】

同样，给出B的运动学方程： m 2 r 2 → ¨ = − f ( r → ) e r → m_{2}\ddot{\overrightarrow{r_{2}}} = - f\left( \overrightarrow{r} \right)\overrightarrow{e_{r}} m2r2 ¨=−f(r )er
【1-2】

其中， r → = r 1 → − r 2 → \overrightarrow{r} = \overrightarrow{r_{1}} - \overrightarrow{r_{2}} r =r1 −r2 【1-3】

e r → \overrightarrow{e_{r}} er 为 r → \overrightarrow{r} r 对应的单位矢量.

观察【1-1】和【1-2】可以知道，当 f ( r → ) < 0 → f\left( \overrightarrow{r} \right) < \overrightarrow{0} f(r )<0 时，有心力表现为吸引力，当 f ( r → ) > 0 → f\left( \overrightarrow{r} \right) > \overrightarrow{0} f(r )>0 时，有心力表现为排斥力.

现在我们对【1-1】和【1-2】结合【1-3】可以得到：

f ( r → ) e r → ( 1 m 1 − 1 m 2 ) = r → ¨ f\left( \overrightarrow{r} \right)\overrightarrow{e_{r}}\left( \frac{1}{m_{1}} - \frac{1}{m_{2}} \right) = \ddot{\overrightarrow{r}} f(r )er (m11−m21)=r ¨

对于上式，我们把包含质量的那个因子和位置矢量对时间的二阶导数也就是加速度放到一起：

f ( r → ) e r → = m 1 m 2 m 1 + m 2 r → ¨ f\left( \overrightarrow{r} \right)\overrightarrow{e_{r}} = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\ddot{\overrightarrow{r}} f(r )er =m1+m2m1m2r ¨
【1-4】

特别地，我们引入一个约化质量 μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 \mu = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} μ=m1+m2m1m2，上式变为：

f ( r → ) e → r = μ r → ¨ f\left( \overrightarrow{r} \right){\overrightarrow{e}}_{r} = \mu\ddot{\overrightarrow{r}} f(r )e r=μr ¨【1-5】

如果这里的 f f f为一个确定的函数的话.本式可看为两质点A,B的相对位置（位置矢量的差）随着时间 t t t的变化的函数，自然这是一个隐函数，而且还是写为微分方程的形式的，但是这并不重要,反正在这个前提下，我们可以得到约化质量对应的质点的运动方程

r → = r ( t ) → \overrightarrow{r} = \overrightarrow{r_{(t)}} r =r(t)

【1-6】

得到这个运动方程后，我们返回去，根据【1-3】可以得到A、B两个质点的运动方程，但是要实现这个目的，我们还需要一个方程.对于A、B二质点系，如果它不受外力的作用，那么这个质点系的质心应该做匀速直线运动或者静止不动：

R → = R 0 → + ν → t \overrightarrow{R} = \overrightarrow{R_{0}} + \overrightarrow{\nu}t R =R0 +ν t【1-7】

对于【1-7】我们假定系统在 t = 0 t = 0 t=0时刻的质心位置是确定的，质心的速度也是确定的，那么质心的运动状况也就是完全确定了的.

现在给出质心的定义

R → = m 1 r → 1 + m 2 r → 2 m 1 + m 2 \overrightarrow{R} = \frac{m_{1}{\overrightarrow{r}}_{1} + m_{2}{\overrightarrow{r}}_{2}}{m_{1} + m_{2}} R =m1+m2m1r 1+m2r 2

【1-8】
这个就是我们还需要的那个方程，根据这个方程和【1-3】

我们可以返回去推出

r → 1 = R → m 1 + m 2 2 m 1 + r → 2 {\overrightarrow{r}}_{1} = \overrightarrow{R}\frac{m_{1} + m_{2}}{2m_{1}} + \frac{\overrightarrow{r}}{2} r 1=R 2m1m1+m2+2r

这个方程看着不是很美观，我们把它的右边每一项的分子分母都乘一个 2 m 1 m 1 + m 2 \frac{2m_{1}}{m_{1} + m_{2}} m1+m22m1，就变为了 r → 1 = R → + ( m 1 m 1 + m 2 ) r → {\overrightarrow{r}}_{1} = \overrightarrow{R} + \left( \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)\overrightarrow{r} r 1=R +(m1+m2m1)r 【1-9】

同样地，我们可以得到 r → 2 = R → − ( m 2 m 1 + m 2 ) r → {\overrightarrow{r}}_{2} = \overrightarrow{R} - \left( \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \right)\overrightarrow{r} r 2=R −(m1+m2m2)r 【1-10】

我们先简单地做一个小总结，在上面的讨论当中，我们将一个有心力二质点求运动方程问题转化为求具有约化质量的某一质点的运动方程，然后又返回去得到两个质点的运动方程.

要求解这个质点系的运动，关键就在于求出具有约化质量的质点C的运动方程，下面我们将会引入有心力场中的两个非常关键的守恒定律------角动量守恒和机械能守恒来求解质点C的运动方程.

不过在那之前，我们先把上文提到的一个问题解决：利用约化质量的思想来由开普勒第三定律导出圆轨道下万有引力满足的平方反比定律.由于版面受限，这个问题的求解我放在附录一中，请读者往后翻阅.

假设你已经看完了附录一，请往下看.

现在引入角动量守恒，对于具有约化质量的质点C，只受到一个和它的位置矢量始终共线的相互作用力的 f ( r → ) e r → f\left( \overrightarrow{r} \right)\overrightarrow{e_{r}} f(r )er 的作用，那么质点C以原点为参考点的角动量是守恒的，因为：
M → = d L → d t \overrightarrow{M} = \frac{\mathbb{d}\overrightarrow{L}}{\mathbb{d}t} M =dtdL

M → \overrightarrow{M} M 为 0 → \overrightarrow{0} 0 ， L → \overrightarrow{L} L 自然是一个常量，我们姑且就这个常量记为 L → \overrightarrow{L} L .

在极坐标中表示 L → \overrightarrow{L} L

由 L → = r → × m ν → \overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times m\overrightarrow{\nu} L =r ×mν 【2-1】

其中， ν → = ( d r d t e r → + d θ d t e θ → ) \overrightarrow{\nu} = \left( \frac{\mathbb{d}r}{\mathbb{d}t}\overrightarrow{e_{r}} + \frac{\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t}\overrightarrow{e_{\theta}} \right) ν =(dtdrer +dtdθeθ )【2-2】把本式代入上式可得

L = μ r 2 d θ d t L = \frac{{\mu r}^{2}\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t} L=dtμr2dθ【2-3】

根据由正弦定理的推论导出的三角形面积公式可以看出，【2-3】右边的分子，正是质点C和原点的连线在 d t \mathbb{d}t dt时间内扫过的面积的两倍 r 2 d θ r^{2}\mathbb{d}\theta r2dθ.那么【2-3】表征的物理意义就是，质点与原点的连线在单位时间内扫过的面积为一个常量，这就是开普勒的面积定律.（其实这里有一点小问题，我们会在附录中解决）

说明一下，这里涉及到一个极限： d θ = sin ⁡ ( d θ ) \mathbb{d}\theta = \sin(\mathbb{d}\theta) dθ=sin(dθ).

所以说，面积定律是角动量守恒的必然结果，这不是平方反比定律导致的，只要质点C受到的合外力是一个有心力，那么面积定律就成立。

下面来看机械能守恒在我们所研究的这个问题中的作用

对于二质点系的运动状态的问题，我们转化为了单个质点C的运动状态的问题，我们先看质点C在极坐标中的动能的表示

E k = 1 2 μ ν 2 E_{k} = \frac{1}{2}\mu\nu^{2} Ek=21μν2

【2-4】

其中 ν 2 = ( d r d t ) 2 + r 2 ( d θ d t ) 2 \nu^{2} = \left( \frac{\mathbb{d}r}{\mathbb{d}t} \right)^{2} + r^{2}\left( \frac{\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t} \right)^{2} ν2=(dtdr)2+r2(dtdθ)2，代入上式得到

E k = 1 2 μ ( d r d t ) 2 + 1 2 μ r 2 ( d θ d t ) 2 E_{k} = \frac{1}{2}\mu\left( \frac{\mathbb{d}r}{\mathbb{d}t} \right)^{2} + {\frac{1}{2}\mu r}^{2}\left( \frac{\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t} \right)^{2} Ek=21μ(dtdr)2+21μr2(dtdθ)2

【2-5】

现在来看有心力场中有心力作为保守力决定的势能，我们选择某处Q的势能定义为 P ( q ) P(q) P(q),

根据功能关系得到：

U ( r → ) − U ( q → ) = − ∫ q → r → f ( r → ) e r → d r → U\left( \overrightarrow{r} \right) - U\left( \overrightarrow{q} \right) = - \int_{\overrightarrow{q}}^{\overrightarrow{r}}{f\left( \overrightarrow{r} \right)\overrightarrow{e_{r}}\mathbb{d}\overrightarrow{r}} U(r )−U(q )=−∫q r f(r )er dr

【2-6】其中， q → \overrightarrow{q} q 为我们定义的某处Q的位置矢量，这个矢量的选取具有任意性.

对于上式的右边，是一个矢量积分，按照我们以往的经验，我们试图把它替换为一个标量表达式，这是可行的，因为对于一个由某一固定点"辐射"而出的有心力决定的势能场来说，距离固定点距离相同的所有点的势能是完全相同的.于是有：

U ( r ) − U ( q ) = − ∫ q r f ( r ) d r U(r) - U(q) = - \int_{q}^{r}{f(r)\mathbb{d}r} U(r)−U(q)=−∫qrf(r)dr

【2-7】

在一个有心力场中，只有保守力做功，机械能守恒，我们写出机械能：

E = E k + U ( r → ) E = E_{k} + U\left( \overrightarrow{r} \right) E=Ek+U(r )

= 1 2 μ ( d r d t ) 2 + 1 2 μ r 2 ( d θ d t ) 2 + U ( r ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{2}\mu\left( \frac{\mathbb{d}r}{\mathbb{d}t} \right)^{2} + {\frac{1}{2}\mu r}^{2}\left( \frac{\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t} \right)^{2} + \ U(r) =21μ(dtdr)2+21μr2(dtdθ)2+ U(r)

【2-8】

现在问题马上就要得到解决了，我们观察一下【2-8】，这是一个隐函数：

E = 1 2 μ ( d r d t ) 2 + 1 2 μ r 2 ( d θ d t ) 2 + U ( r ) E = \frac{1}{2}\mu\left( \frac{\mathbb{d}r}{\mathbb{d}t} \right)^{2} + {\frac{1}{2}\mu r}^{2}\left( \frac{\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t} \right)^{2} + \ U(r) E=21μ(dtdr)2+21μr2(dtdθ)2+ U(r)

我们把 d θ d t \frac{\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t} dtdθ根据

L = μ r 2 d θ d t L = \frac{{\mu r}^{2}\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t} L=dtμr2dθ【2-3】来替换一下得到：

E = 1 2 μ ( d r d t ) 2 + 1 2 L 2 μ r 2 + U ( r ) E = \frac{1}{2}\mu\left( \frac{\mathbb{d}r}{\mathbb{d}t} \right)^{2} + \frac{1}{2}\frac{L^{2}}{\mu r^{2}} + \ U(r) E=21μ(dtdr)2+21μr2L2+ U(r)

现在，如若有心力在空间中的分布是确定的，并且能够用一个我们知道的解析式 f ( r → ) e r → f\left( \overrightarrow{r} \right)\overrightarrow{e_{r}} f(r )er 来表示出来，那么根据【2-7】我们就能够得到 U ( r ) U(r) U(r)的解析式形式，而 1 2 L 2 μ r 2 \frac{1}{2}\frac{L^{2}}{\mu r^{2}} 21μr2L2中的 L L L和 μ \mu μ以及 E E E是恒量，这里我们忽略相对论效应.那么 1 2 L 2 μ r 2 + U ( r ) \frac{1}{2}\frac{L^{2}}{\mu r^{2}} + \ U(r) 21μr2L2+ U(r)实际上可以整体看为是一个关于 r r r的状态函数，我们把这个状态函数称为等效势，这里我们用 U e f f U_{eff} Ueff表示.合并某些项为一个状态函数的思想方法我们在热学中也遇到过，如熵和焓的定义.

于是有*
* E = 1 2 μ ( d r d t ) 2 + U e f f ( r ) E = \frac{1}{2}\mu\left( \frac{\mathbb{d}r}{\mathbb{d}t} \right)^{2} + U_{eff}(r) E=21μ(dtdr)2+Ueff(r)

【2-8】

其中，*
* U e f f ( r ) = 1 2 L 2 μ r 2 + U ( r ) U_{eff}(r) = \frac{1}{2}\frac{L^{2}}{\mu r^{2}} + \ U(r) Ueff(r)=21μr2L2+ U(r)

【2-9】

我们解出 d r d t \frac{\mathbb{d}r}{\mathbb{d}t} dtdr也就是 r ( t ) r(t) r(t)的微分形式：

d r d t = 2 ( E − U e f f ( r ) ) μ \frac{\mathbb{d}r}{\mathbb{d}t} = \sqrt{\frac{2\left( E - U_{eff}(r) \right)}{\mu}} dtdr=μ2(E−Ueff(r))

【2-10】

上式的积分形式就是： t − t 0 = ∫ r 0 r μ 2 ( E − U e f f ( r ) ) d r t - t_{0} = \int_{r_{0}}^{r}{\sqrt{\frac{\mu}{2\left( E - U_{eff}(r) \right)}}\mathbb{d}r} t−t0=∫r0r2(E−Ueff(r))μ dr

【2-11】

又由 L = μ r 2 d θ d t L = \frac{{\mu r}^{2}\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t} L=dtμr2dθ【2-3】得到

d θ d t = L μ r 2 \frac{\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t} = \frac{L}{\mu r^{2}} dtdθ=μr2L

【2-12】同样给出该式的积分形式：

θ − θ 0 = ∫ t 0 t L μ r 2 d t \theta - \theta_{0} = \int_{t_{0}}^{t}{\frac{L}{\mu r^{2}}\mathbb{d}t} θ−θ0=∫t0tμr2Ldt

【2-13】

这四个方程给出来质点C的运动的解，这里，声明一下， r r r的物理意义是质点C在极坐标系中的矢径的大小，而 θ \theta θ是相对于极坐标极轴角位移的大小，得到这两个量关于时间的函数就是得到了质点C的运动的解。

至于【2-11】和【2-13】的积分形式具体求出来是什么样的解析式，取决于 U e f f ( r ) U_{eff}(r) Ueff(r)，而 U e f f ( r ) U_{eff}(r) Ueff(r)依赖于有心力场的分布.

有时，我们还关注二质点系中质点的运动轨迹，这里我们先求具有约化质量的质点C的运动轨迹：

根据【2-10】和【2-12】得到

d θ d r = d θ d t ⋅ d t d r = L μ r 2 μ 2 ( E − U e f f ) \frac{\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}r} = \frac{\mathbb{d}\theta}{\mathbb{d}t} \cdot \frac{\mathbb{d}t}{\mathbb{d}r} = \frac{L}{\mu r^{2}}\sqrt{\frac{\mu}{2\left( E - U_{eff} \right)}} drdθ=dtdθ⋅drdt=μr2L2(E−Ueff)μ

【2-14】

同样，可以得到该微分形式的积分解，也就是质点C的轨迹方程.

当二质点系中某个质点的质量远远大于另外一个的时候，在前面的论述中我们提到可以用C点的运动状态近似地去代替质量小的那个质点的运动状态，而对于质量不满足某个质点的质量远远大于另外一个这个条件的情况，也可以利用【1-9】和【1-10】来求得两个质点精确的轨迹和运动的解.

当有心力是万有引力的时候

根据上面的论述，我们讲到，质点C的运动的解和轨迹方程的解析解形式依赖等效势 U e f f U_{eff} Ueff，

U e f f ( r ) = 1 2 L 2 μ r 2 + U ( r ) U_{eff}(r) = \frac{1}{2}\frac{L^{2}}{\mu r^{2}} + \ U(r) Ueff(r)=21μr2L2+ U(r)

而

U ( r ) − U ( q ) = − ∫ q r f ( r ) d r U(r) - U(q) = - \int_{q}^{r}{f(r)\mathbb{d}r} U(r)−U(q)=−∫qrf(r)dr

这里，我们对我们研究的二质点系（仅有有心力相互作用）给出一个比较具体的场景，

太阳和距离太阳中心很远的一个天体绕太阳运动，我们给出一些必要的参数，来表示出这个天体的运动轨迹和运动的解.

我们写出【2-14】的积分形式

θ − θ 0 = L ∫ r 0 r d r r 2 μ ( E − U e f f ) 2 \theta - \theta_{0} = L\int_{r_{0}}^{r}\frac{\mathbb{d}r}{r\sqrt[2]{2\mu\left( E - U_{eff} \right)}} θ−θ0=L∫r0rr22μ(E−Ueff) dr

【3-1】

我们取距离太阳无限远的位置的引力势能 U ( ∞ ) = 0 U(\infty) = 0 U(∞)=0，于是有

U ( r ) = − G M m r U(r) = - \frac{GMm}{r} U(r)=−rGMm

【3-2】对于上式，我们认为太阳的质量 M M M不变，虽然说太阳每时每刻都在发生核聚变，我们研究的天体的质量 m m m也不变，就有

U ( r ) = − G M m r = − ϕ r U(r) = - \frac{GMm}{r} = - \frac{\phi}{r} U(r)=−rGMm=−rϕ

【3-3】

其中 ϕ = G M m \phi = \ GMm ϕ= GMm

我们把【3-3】代入 U e f f U_{eff} Ueff的定义式得到

U e f f ( r ) = 1 2 L 2 μ r 2 − ϕ r U_{eff}(r) = \frac{1}{2}\frac{L^{2}}{\mu r^{2}} - \frac{\phi}{r} Ueff(r)=21μr2L2−rϕ

【3-4】

本式代入【3-1】积分就可以求出极坐标下具有约化质量的质点的轨迹方程的解析式

θ − θ 0 = L ∫ r 0 r d r r 2 μ E r 2 − L 2 + 2 μ r ϕ \theta - \theta_{0} = L\int_{r_{0}}^{r}\frac{\mathbb{d}r}{r\sqrt{2\mu Er^{2} - L^{2} + 2\mu r\phi}} θ−θ0=L∫r0rr2μEr2−L2+2μrϕ dr

【3-5】

这里，我们做一个处理方便我们后续的计算，我们知道，不定积分和定积分有着紧密的联系，先求出不定积分再根据原函数利用牛顿-莱布尼茨方程求出不定积分最后都会消掉常数项，现在，假设 ∫ r 0 r d r r 2 μ E r 2 − L 2 + 2 μ r ϕ \int_{r_{0}}^{r}\frac{\mathbb{d}r}{r\sqrt{2\mu Er^{2} - L^{2} + 2\mu r\phi}} ∫r0rr2μEr2−L2+2μrϕ dr中的被积函数为 g ( r ) g(r) g(r),原函数可以表述为 G ( r ) + b G(r) + b G(r)+b,
b b b为任意常数，

那么【3-5】就可以写为：

θ − θ 0 = L ( G ( r ) − G ( r 0 ) ) \theta - \theta_{0} = \ L\left( G(r) - G\left( r_{0} \right) \right) θ−θ0= L(G(r)−G(r0))

等价于

θ − θ 0 + L G ( r 0 ) = L G ( r ) \theta{- \theta_{0}} + LG\left( r_{0} \right) = LG(r) θ−θ0+LG(r0)=LG(r)

为了方便，我们把本式又改写为 θ − θ t r \theta{- \theta_{tr}} θ−θtr= L G ( r ) LG(r) LG(r)

【3-6】

其中，

G ( r ) = ∫ d r r 2 μ E r 2 − L 2 + 2 μ r ϕ G(r) = \int_{}^{}\frac{\mathbb{d}r}{r\sqrt{2\mu Er^{2} - L^{2} + 2\mu r\phi}} G(r)=∫r2μEr2−L2+2μrϕ dr；

θ t r = θ 0 − L G ( r 0 ) \theta_{tr} = \theta_{0} - LG\left( r_{0} \right) θtr=θ0−LG(r0)；

【3-6】等价于下面这个表达式：
r = L 2 μ ϕ 1 − 1 + ( 2 E L 2 μ ϕ 2 ) sin ⁡ ( θ − θ t r ) r = \frac{\frac{L^{2}}{\mu\phi}}{1 - \sqrt{1 + \left( \frac{2EL^{2}}{\mu\phi^{2}} \right)}\sin\left( \theta - \theta_{tr} \right)} r=1−1+(μϕ22EL2) sin(θ−θtr)μϕL2

【3-7】

我们对比极坐标中圆锥曲线的曲线方程

r = p 1 − ε cos ⁡ θ r = \frac{p}{1 - \varepsilon\cos\theta} r=1−εcosθp

其中 ε \varepsilon ε 是离心率， p p p 是半通径.

我们令 L 2 μ ϕ = p \frac{L^{2}}{\mu\phi} = \ p μϕL2= p【3-8】
1 + ( 2 E L 2 μ ϕ 2 ) \sqrt{1 + \left( \frac{2EL^{2}}{\mu\phi^{2}} \right)} 1+(μϕ22EL2) =
ε \varepsilon ε 【3-9】

其中， E E E为具有约化质量的质点C所具有的机械能，是一个常量， L L L为这个质点C具有的角动量，也是一个常量.另外， G M m = ϕ GMm = \phi GMm=ϕ.

那么我们就把【3-7】改写为

r = p 1 − ε cos ⁡ ( π 2 − θ + θ t r ) r = \frac{p}{1 - \varepsilon\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta + \theta_{tr} \right)} r=1−εcos(2π−θ+θtr)p

【3-10】

我们来看一下几类圆锥曲线的离心率：

双曲线 e > 1 e > 1 e>1

椭圆 0 < e < 1 0 < e < 1 0<e<1

抛物线 e = 1 e = 1 e=1

正圆 0 0 0

仅仅在上表或者是其他有特殊说明的地方使用 e e e表示离心率.

我们现在来做一个小结：

对于一个质量为 M M M的天体，这个天体附近有一个卫星，质量为 m m m,且有 M ≫ m M \gg m M≫m,则天体—卫星系统的约化质量 μ \mu μ所对应的质点的运动轨迹为

r = p 1 − ε cos ⁡ ( π 2 − θ + θ t r ) r = \frac{p}{1 - \varepsilon\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta + \theta_{tr} \right)} r=1−εcos(2π−θ+θtr)p

其中： L 2 μ G M m = p \frac{L^{2}}{\mu GMm} = \ p μGMmL2= p ；
1 + ( 2 E L 2 μ ( G M m ) 2 ) \sqrt{1 + \left( \frac{2EL^{2}}{\mu(GMm)^{2}} \right)} 1+(μ(GMm)22EL2) =
ε \varepsilon ε ；

G ( r ) = ∫ d r r 2 μ E r 2 − L 2 + 2 μ r ϕ G(r) = \int_{}^{}\frac{\mathbb{d}r}{r\sqrt{2\mu Er^{2} - L^{2} + 2\mu r\phi}} G(r)=∫r2μEr2−L2+2μrϕ dr；

θ t r = θ 0 − L G ( r 0 ) \theta_{tr} = \theta_{0} - LG\left( r_{0} \right) θtr=θ0−LG(r0)；

如果这两个天体的质量满足一个远大于另外一个，也可以用具有约化质量的点的运动状态来近似描述质量小的那个天体的运动状态.

据此，我们可以计算出第一宇宙速度和第二宇宙速度，第一宇宙速度的计算这里不做说明，我们来计算一下第二宇宙速度.

当航天器达到第二宇宙速度时，会脱离地球的引力束缚，成为绕太阳运动的天体

当航天器恰好达到第二宇宙速度的时候，轨道离心率为 ε = 1 \varepsilon = 1 ε=1，

即 1 + ( 2 E L 2 μ ( G M m ) 2 ) = 1 \sqrt{1 + \left( \frac{2EL^{2}}{\mu(GMm)^{2}} \right)} = 1 1+(μ(GMm)22EL2) =1，

要保证上式满足，就要系统总的机械能 E E E要为0，假设物体在地球表面发射达到第二宇宙速度，地球表面，物体的势能为 − G M m r 0 - \frac{GMm}{r_{0}} −r0GMm，那么动能就应该为 1 2 m ν 2 = G M m r 0 \frac{1}{2}m\nu^{2} = \frac{GMm}{r_{0}} 21mν2=r0GMm

这样解得 ν = 2 G M r 0 \nu = \sqrt{\frac{2GM}{r_{0}}} ν=r02GM

其中， G G G为万有引力常量， M M M为地球的质量， r 0 r_{0} r0为地球的半径，代入相关的数据得到

ν ≈ 11180 m / s \nu \approx 11180m\text{/}s ν≈11180m/s

大约就是11.2千米每秒

上面，我们求出来有心力为万有引力情况下二质点系中具有约化质量的质点C的运动轨迹，并且在一种特殊情况下，用质点C的运动的解去近似代替实际存在的两个质点中质量较小的那个质点的运动的解，现在，我们关注当运动轨迹为闭合曲线圆锥曲线时运动轨迹的周期，这里我们依然选择在极坐标下进行处理

d r d t = 2 ( E − U e f f ( r ) ) μ \frac{\mathbb{d}r}{\mathbb{d}t} = \sqrt{\frac{2\left( E - U_{eff}(r) \right)}{\mu}} dtdr=μ2(E−Ueff(r))

【4-1】

θ − θ 0 = ∫ t 0 t L μ r 2 d t \theta - \theta_{0} = \int_{t_{0}}^{t}{\frac{L}{\mu r^{2}}\mathbb{d}t} θ−θ0=∫t0tμr2Ldt

【4-2】

这样，我们求出来 r r r和时间 t t t的关系，简单处理，我们得到轨迹的最小正周期 T T T

五.球壳给空间中某质点的引力大小计算 {#五.球壳给空间中某质点的引力大小计算 .unnumbered}

为求一个质量分布均匀的球壳对空间中某质点P的万有引力，我们将球壳分为一个个环，求出每个环对质点的引力，然后再利用积分求和.

第一步：

求单个环给质点P的引力：

将圆环分为n个扇环，每个环对应的圆心角为d θ \theta θ,设单位角度对应的质量为 ρ \rho ρ，则有

ρ = M 2 π ， d M = ρ d θ \rho = \frac{M}{2\pi}，dM = \rho\ d\theta ρ=2πM，dM=ρ dθ

圆环上的小扇环对位于圆环轴线上的质点的万有引力具有沿轴线方向上分量和垂直于轴线方向上的分量，由对称性可知，所有扇环元给质点的在垂直与轴线方向上的分量的和为0，这样，我们只研究沿着轴线方向上的分力及它们的和.

记为单个扇环给质点P的引力的沿轴线方向上的分量： d F dF dF

则
d F = G m ( R 2 + L 2 ) c o s ( β ) d M = G m ( R 2 + L 2 ) × L R 2 + L 2 × ρ d θ dF = \frac{Gm}{\left( R^{2} + L^{2} \right)}{cos(}{\beta)}dM = \frac{Gm}{\left( R^{2} + L^{2} \right)} \times \frac{L}{\sqrt{R^{2} + L^{2}}} \times \rho\ d\theta dF=(R2+L2)Gmcos(β)dM=(R2+L2)Gm×R2+L2 L×ρ dθ

整个环对质点P产生的引力为

∫ d F = ∫ G m L ( R 2 + L 2 ) 3 2 × 1 2 π d θ \int_{}^{}{dF = \int_{}^{}\frac{GmL}{\left( R^{2} + L^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}} \times \frac{1}{2\pi}\ d\theta ∫dF=∫(R2+L2)23GmL×2π1 dθ,

∵ ∫ 0 2 π d θ = 2 π \because\int_{0}^{2\pi}{d\theta = 2\pi} ∵∫02πdθ=2π

所以，整个环对质点P产生的引力为

G M m L ( R 2 + L 2 ) 3 2 = f \frac{GMmL}{\left( R^{2} + L^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} = f (R2+L2)23GMmL=f
其中, M M M为扇环的总质量、 m m m为质点P的质量、 L L L为质点到扇环平面的距离， R R R为圆环的半径.

(4.1)

观察（4.1）发现，当 R = 0 R = 0 R=0
时， f = G M m L 2 f = \frac{GMm}{L^{2}} f=L2GMm，这恰好和（3.4）相同，其实扇环的半径为0便可以看为一个质点.

第二步：

接下来求由众多环合并而成的一个球壳对空间中一质点P产生的万有引力，

将一个球壳分割多个窄环，如下图所示

设薄球壳的总质量为 M M M(这里的 M M M和前面任何地方出现的 M M M都不同)，单位面积质量为 φ \varphi φ则有

φ × 4 π R 2 = M ⇔ φ = M 4 π R 2 \varphi \times 4\pi R^{2} = M \Leftrightarrow \varphi = \frac{M}{4\pi R^{2}} φ×4πR2=M⇔φ=4πR2M（4.2）

d δ d\delta dδ对应的面积为

d s = π 2 r ( δ ) R d δ = 2 π R 2 sin ⁡ δ d δ ds = \pi 2r(\delta)Rd\delta = 2\pi R^{2}\sin{\delta\mathbb{d}\delta} ds=π2r(δ)Rdδ=2πR2sinδdδ（4.3）

d δ d\delta dδ对应的质量元为

d M = φ d s = M 2 sin ⁡ δ d δ \mathbb{d}M = \varphi\mathbb{d}s = \frac{M}{2}\sin{\delta\mathbb{d}\delta} dM=φds=2Msinδdδ（4.4）

d δ d\delta dδ对应的质量元对质点P产生的引力为

d F = G m l ( δ ) [ r 2 ( δ ) + l 2 ( δ ) ] 3 2 d M \ \mathbb{d}F = \frac{Gml(\delta)}{\left\lbrack r^{2}(\delta) + l^{2}(\delta) \right\rbrack^{\frac{3}{2}}}\mathbb{d}M dF=[r2(δ)+l2(δ)]23Gml(δ)dM

= G m M [ L − R c o s ( δ ) ] s i n δ d δ 2 ( R 2 + L 2 − 2 R L cos ⁡ δ ) 3 2 \ = \frac{GmM\left\lbrack L - Rcos(\delta) \right\rbrack sin\delta\ d\delta}{2\left( R^{2} + L^{2} - 2RL\cos\delta \right)^{\frac{3}{2}}} =2(R2+L2−2RLcosδ)23GmM[L−Rcos(δ)]sinδ dδ

（ 4.5 ） \left. （4.5 \right.）（4.5）

其中 l ( δ ) l(\delta) l(δ)表示圆环到质点P的距离， r ( δ ) r(\delta) r(δ)表示圆环的半径.

积分得到整个薄球壳对质点P产生的引力：

Γ = ∫ 0 π d F \Gamma = \int_{0}^{\pi}{\mathbb{d}F} Γ=∫0πdF （4.6）

为计算该积分，令 L − R c o s δ = u ; L - Rcos\delta = u; L−Rcosδ=u; d u = R s i n δ d δ du = Rsin\delta\ d\delta du=Rsinδ dδ

R 2 + L 2 − 2 R L cos ⁡ δ = R 2 − L 2 + 2 L u {R^{2} + L^{2} - 2RL\cos\delta = R^{2} - L^{2} + 2Lu}^{} R2+L2−2RLcosδ=R2−L2+2Lu

则 Γ = ∫ 0 π d F = G m M 2 R ∫ L − R L + R u d u ( R 2 − L 2 + 2 L u ) 3 2 \Gamma = \int_{0}^{\pi}{\mathbb{d}F} = \frac{GmM}{2R}\int_{L - R}^{L + R}\frac{u\ du}{\left( R^{2} - L^{2} + 2Lu \right)^{\frac{3}{2}}} Γ=∫0πdF=2RGmM∫L−RL+R(R2−L2+2Lu)23u du
（4.7）

令 ξ = ∫ L − R L + R u d u ( R 2 − L 2 + 2 L u ) 3 2 \xi = \int_{L - R}^{L + R}\frac{u\ du}{\left( R^{2} - L^{2} + 2Lu \right)^{\frac{3}{2}}} ξ=∫L−RL+R(R2−L2+2Lu)23u du
（4.8）

设 f = u ; g = − 1 L R 2 − L 2 + 2 L u f = u\ \ ;\ \ g = \frac{- \frac{1}{L}}{\sqrt{R^{2} - L^{2} + 2Lu}} f=u ; g=R2−L2+2Lu −L1
则， ∫ f d g = ∫ u d u ( R 2 − L 2 + 2 L u ) 3 2 \int_{}^{}{f\ dg} = \int_{}^{}\frac{u\ du}{\left( R^{2} - L^{2} + 2Lu \right)^{\frac{3}{2}}} ∫f dg=∫(R2−L2+2Lu)23u du

由链式法则可得 ∫ f d g = f g − ∫ g d f \int_{}^{}{f\ dg} = fg - \int_{}^{}{g\ df} ∫f dg=fg−∫g df （4.9）

当 u = R + L u = R + L u=R+L时， R 2 − L 2 + 2 L u = ( L + R ) 2 R^{2} - L^{2} + 2Lu = (L + R)^{2} R2−L2+2Lu=(L+R)2 （4.10）

当 u = R − L u = R - L u=R−L时， R 2 − L 2 + 2 L u = ( L − R ) 2 R^{2} - L^{2} + 2Lu = (L - R)^{2} R2−L2+2Lu=(L−R)2 （4.11）

f g ∣ L − R L + R = − 1 L ( L + R ( L + R ) 2 − L − R ( L − R ) 2 ) \left. \ fg \right|_{L - R}^{L + R} = - \frac{1}{L}\left( \frac{L + R}{\sqrt{(L + R)^{2}}} - \frac{L - R}{\sqrt{(L - R)^{2}}} \right) fg∣L−RL+R=−L1((L+R)2 L+R−(L−R)2 L−R)
（4.12）

对于上式，当 ( L − R ) 2 \sqrt{(L - R)^{2}} (L−R)2 是一个算数平方根，当 L > R L > R L>R,也就是质点P在球壳外部的时候， ( L − R ) 2 = L − R \sqrt{(L - R)^{2}} = L - R (L−R)2 =L−R,

此时 f g ∣ L − R L + R = 0 \left. \ fg \right|_{L - R}^{L + R} = 0 fg∣L−RL+R=0 （4.13）

现在计算 ∫ g d f \int_{}^{}{g\ df} ∫g df

∫ L − R L + R g d f = − 1 L ∫ L − R L + R 1 ( R 2 − L 2 + 2 L u ) 1 2 d u = − 1 L 2 × R 2 − L 2 + 2 L u ∣ L − R L + R \int_{L - R}^{L + R}{g\ df} = - \frac{1}{L}\int_{L - R}^{L + R}\frac{1}{\left( R^{2} - L^{2} + 2Lu \right)^{\frac{1}{2}}}\ du = - \frac{1}{L^{2}} \times \left. \ \sqrt{R^{2} - L^{2} + 2Lu} \right|_{L - R}^{L + R} ∫L−RL+Rg df=−L1∫L−RL+R(R2−L2+2Lu)211 du=−L21× R2−L2+2Lu L−RL+R
（4.14）

由（4.10）式和（4.11）式可得

− 1 L 2 × R 2 − L 2 + 2 L u ∣ L − R L + R = 1 L 2 [ ( L − R ) − ( L + R ) ] = − 2 R L 2 - \frac{1}{L^{2}} \times \left. \ \sqrt{R^{2} - L^{2} + 2Lu} \right|_{L - R}^{L + R} = \frac{1}{L^{2}}\left\lbrack (L - R) - (L + R) \right\rbrack = - \frac{2R}{L^{2}} −L21× R2−L2+2Lu L−RL+R=L21[(L−R)−(L+R)]=−L22R
（4.15）

即 ∫ L − R L + R g d f = − 2 R L 2 \int_{L - R}^{L + R}{g\ df} = - \frac{2R}{L^{2}} ∫L−RL+Rg df=−L22R （4.16）

将上式和（4.10）式代入（4.11）得

ξ = ∫ L − R L + R u d u ( R 2 − L 2 + 2 L u ) 3 2 \xi = \int_{L - R}^{L + R}\frac{u\ du}{\left( R^{2} - L^{2} + 2Lu \right)^{\frac{3}{2}}} ξ=∫L−RL+R(R2−L2+2Lu)23u du

= ∫ f d g = f g − ∫ g d f = \int_{}^{}{f\ dg} = fg - \int_{}^{}{g\ df} =∫f dg=fg−∫g df

= 0 − ( − 2 R L 2 ) = 2 R L 2 = 0 - \left( - \frac{2R}{L^{2}} \right) = \frac{2R}{L^{2}} =0−(−L22R)=L22R

上式代入（4.7）式得*
* Γ = ∫ 0 π d F = G M m L 2 \Gamma = \int_{0}^{\pi}{\mathbb{d}F} = \ G\frac{Mm}{L^{2}} Γ=∫0πdF= GL2Mm

（4.17）

当L<R时， ( L − R ) 2 = R − L \sqrt{(L - R)^{2}} = R - L (L−R)2 =R−L，将本式代入（4.14）式与（4.12）式计算得到 Γ = 0 \Gamma = 0 Γ=0

即当质点P在球壳内部，球壳给质点P的万有引力为0.

六.一个有趣的现象------具有球形空腔的实心球体空腔内的万有引力 {#六.一个有趣的现象具有球形空腔的实心球体空腔内的万有引力 .unnumbered}

下面给出一个质量分布均匀的实心球体；球体内有一球形空腔（整个几何体从外部看是完全封闭的），求空腔内任意一点的引力场强度.

为解决该问题，设整个球体的球心为O，半径为R；空腔的球心为点P，半径为r，球体的密度为 ρ \rho ρ.检验点 c c c到 O O O的距离为 L L L； c c c点到 P P P点的距离为 l l l,取过 O O O和 P P P点的截面（如
图所示）

整个带有空腔的球体在空腔内某点 c c c产生的引力场强度 E E E为整个不带空腔的球体在 c c c点产生的引力场强度 ϵ \epsilon ϵ减去整个空腔假想球体在 c c c点产生的引力场强度 ε \varepsilon ε.

即

E → = ϵ → + ε → \ \ \ \overrightarrow{E} = \overrightarrow{\epsilon} + \overrightarrow{\varepsilon} E =ϵ +ε （5.1）

在四.的讨论中已经给出：均匀质量球壳给内部任意一
点的引力场强度为0，那么球整个球体 O O O点在 c c c点产生的引力场强度壳等效为圆心在 O O O点，半径为 L L L，密度为 ρ \rho ρ的实心球体在在 c c c点产生的引力场强度.

由此，易得 ϵ = G M L L 2 \epsilon = \frac{GM_{L}}{L^{2}} ϵ=L2GML （5.2）

M L = ρ × 4 3 π L 3 M_{L} = \rho \times \frac{4}{3}\pi L^{3} ML=ρ×34πL3（5.3）

令 G ρ × 4 3 π = k G\rho \times \frac{4}{3}\pi = k Gρ×34π=k (5.4)

联立(5.4)式(5.2)式(5.3)式

得， ϵ = k L \epsilon = kL ϵ=kL （5.5）

则 ϵ → = k L r L ^ \overrightarrow{\epsilon} = kL\widehat{r_{L}} ϵ =kLrL 其中， r L ^ \widehat{r_{L}} rL 为由
c c c 点指向 O O O点的单位向量.

同理， ε = G M l l 2 \varepsilon = \frac{GM_{l}}{l^{2}} ε=l2GMl （5.6）

M l = − ρ × 4 3 π l 3 M_{l} = - \rho \times \frac{4}{3}\pi l^{3} Ml=−ρ×34πl3 （5.7）

联立（5.6）（5.7）（5.4）得 ε → = k l r l ^ \overrightarrow{\varepsilon} = kl\widehat{r_{l}} ε =klrl
其中， r l ^ \widehat{r_{l}} rl 为由 c c c点指向 P P P点的单位向量.

则， E → = ϵ → − ε → = k L r L ^ − k l r l ^ = k ( L r L ^ − l r l ^ ) \overrightarrow{E} = \overrightarrow{\epsilon} - \overrightarrow{\varepsilon} = \ kL\widehat{r_{L}} - \ kl\widehat{r_{l}} = k\left( L\widehat{r_{L}} - l\widehat{r_{l}} \right) E =ϵ −ε = kLrL − klrl =k(LrL −lrl )

L r L ^ − l r l ^ = c O → − c P → = P O → L\widehat{r_{L}} - l\widehat{r_{l}} = \overrightarrow{cO} - \overrightarrow{cP} = \overrightarrow{PO} LrL −lrl =cO −cP =PO

综上： E → = G ρ × 4 3 π P O → \overrightarrow{E} = G\rho \times \frac{4}{3}\pi\overrightarrow{PO} E =Gρ×34πPO

即，空腔内任意一点的引力场强度大小都为 G ρ × 4 3 π ∣ P O → ∣ G\rho \times \frac{4}{3}\pi\left| \overrightarrow{PO} \right| Gρ×34π PO ，方向由空腔中心指向大球球心，其中， ∣ P O → ∣ \left| \overrightarrow{PO} \right| PO 为空腔中心到大球球心的距离.

七.最后的话 {#七.最后的话 .unnumbered}

万有引力的发现，将天上飞的天体和地面上运动的物体的运动规律统一起来，是17世纪人类最伟大的发现之一，它揭示了一种普遍性的相互作用规律，万有引力的发现历程是人类探索自然规律的一个典范研究历程；牛顿自己也说过，他是站在巨人肩膀上才取得如此成就，几乎没有一条物理规律是由某个物理学家从0发现；万有引力定律如此，相对论也是如此.在哲学上，万有引力的发现极大的冲击力西方古代的神创论，它的发
现，象征着人类在向通往星辰大海的路上又前进了巨大的一步.

但是，牛顿万有引力定律并非完全适用于任何领域和情况，在高速情况下，牛顿发现的经典的万有引力显然不适用.比如1859年，法国天文学家勒威耶发现水星近日点进动速率的数值与用万有引力定律算得的数值有每百年38″（美国天文学家S.纽康的测定值为43″）的偏离.1915年，爱因斯坦创立广义相对论，终于说明了这个问题，并预言光线在引力场中的偏折和光谱的红移.

但是这并不妨碍万有引力定律在物理学历史和人类历史上的具有举足轻重和极其重大的意义.任何物理定律都不可能做到百分之百适用宜昌任何领域、任何情况.那么我们要做的就是不断发现原有理论的局限性，并且不断修正、发展，向"完美"的真理无限靠近.

参考文献： α . \alpha. α.力学概论-翻译版-(美)Daniel Kleppner &Robert
Kolenkow-机械工业出版社

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