归并排序

归并排序的思想

递归实现

非递归实现

归并排序

归并排序和之前讲的快速排序、希尔排序、堆排序一样，时间复杂度是O(N*logN)。

它相对难理解一点，接下来我就从递归以及非递归两个方面详细介绍一下这种排序。

归并排序的思想

一个数组从中间将其分为左右两个区间，如果左右区间都是有序的，那么就可以进行归并，分别从两个区间取小的数尾插到新开辟的数组中，不断取小的尾插直到排完。

那么如果两个区间没有序呢？—— 那就再将这个问题划分子问题，左区间进行上述操作，右区间也进行上述操作......一直分治下去，直到左右区间只剩一个数，就划分为最小子问题，无需再往下分了，这个过程也就是递归的过程。

这就是归并排序的思想，划分子问题，分而治之。

递归实现

假设有一个数组a[10] ={9,6,5,3,8,7,1,2,0,4} 要将它排成升序，可以先找出数组的中间位置，将数组从中间分开，划为两个区间，分别将两个区间排成有序的。

那如何将这两个区间排成有序的呢？————再重复上面步骤分别划分左右两个区间，再将其排成有序的，重复上述步骤......直到左右区间都分的只剩一个数，那也就可以认为它是有序的。整个过程就是一个递归调用的过程。

大家觉得这个递归过程像什么呢？是不是有点像二叉树。这里的归并递归过程有点类似二叉树里面求树的高度，先递归计算左右子树的高度，都是用的后序遍历。

先将大体框架完成一下：

void _MergeSort(int* a, int begin, int end，int* tmp)
{if (begin >= end)return;int mid = begin + (end - begin) / 2;_MergeSort(a,begin, mid,tmp);_MergeSort(a,mid+1,end,tmp);//归并
}void MergeSort(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail");return;}_MergeSort(a, tmp, 0, n-1);free(tmp);tmp = NULL;
}int main()
{int a[10] = { 9,6,5,3,8,7,1,2,0,4 };int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);MergeSort(a, n);for (int i = 0; i < n; ++i){printf("%d ", a[i]);}return 0;
}

归并排序一般用两个子函数，这样方便一些。

先计算中间位置，得出左右区间，对左右区间递归排序，直到各自只剩一个数时返回。

上面是局部递归展开图（归并过程没写），可借助展开图来理解递归过程。

接下来实现归并细节。

依据上图，先将左右区间的边界值表示出来：左区间 [begin,mid] 右区间 [mid+1,end]

找到每一组里面小的那个数，尾插到新开辟出的数组里，不断地取小的尾插，尾插一次就memcpy拷贝回原数组。

void _MergeSort(int* a, int begin, int end, int* tmp)
{if (begin >= end)return;int mid = begin + (end - begin) / 2;_MergeSort(a,begin, mid,tmp);_MergeSort(a,mid+1,end,tmp);//归并int i = begin;int begin1 = begin, end1 = mid,begin2 = mid + 1, end2 = end;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] <= a[begin2]){tmp[i++] = a[begin1++];}else{tmp[i++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[i++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[i++] = a[begin2++];}memcpy(a + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));
}

时间复杂度：O(N*logN), 递归深度为logN，每一层递归因为要遍历选小的数，所以是O(N)，合起来就是O(N*logN）

空间复杂度：O(N)，开辟了额外的tmp空间，这里不及快排，快排空间复杂度是O(logN）

非递归实现

在深度了解递归的情况下，我们也可以用非递归来实现。非递归实现还是有一定难度的，不太好理解，建议将递归展开图多画画，吃透了再实现非递归。

归并排序的非递归，我们不借助栈或队列等结构实现，直接用迭代手撕。

其本质和递归异曲同工，只是用循环完整的呈现了全部过程。

递归方法是一路往下走，到最底层只剩一个数归并，返回上一层有两个数，两两归并，依次往上返回。这里非递归相当于是反过来了，最开始一一归并，然后将有序的两两归并.......

大体思路简单，但是控制边界值挺麻烦，先实现大框架：

我们要一开始一一归并，再两两归并.......可以设定一个gap，让它一开始为1，每归并完一层就*2，

就可以实现控制了。

void MergeSortNon(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail");return;}int gap = 1;while (gap < n){for (int j = 0; j < n; j += gap * 2){int i = j;int begin1 = j, end1 = j + gap - 1,begin2 = j + gap, end2 = j + 2 * gap - 1;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] <= a[begin2]){tmp[i++] = a[begin1++];}else{tmp[i++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[i++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[i++] = a[begin2++];}gap *= 2;memcpy(a, tmp, sizeof(int) * n);}}free(tmp);tmp = NULL;
}

注意这里begin1 ，end1，begin2，end2的初始值。对照着图可以推出来。

这是基本框架，但是注意：上面数组里面个数正好为8，是2^3，当数组个数不是2^n时，情况就完全不同了。

比如个数为9,10时，如图：

比如这样两种情况就会出现问题。

以左图为例，对照代码看：当gap = 4时，j = 8，begin2 = 9，end2 = 9 越界了。

同理，右边也一样，其他情况下也会产生越界。为了方便观察什么情况下会越界，我们加入打印。

         int i = j;int begin1 = j, end1 = j + gap - 1,begin2 = j + gap, end2 = j + 2 * gap - 1;printf("[%d][%d],[%d][%d] ", begin1, end1, begin2, end2);

当数组元素个数为2^n 时

当数组元素个数为奇数个时

当数组元素个数是偶数个但不为2^n 时

根据上图，我们把越界情况分为三种：

1、第一组end1越界

2、第二组begin2，end2全部越界

3、第二组end2越界

针对上述三种情况进行修正，就可以避免越界实现非递归。

如果拷贝的地方是像上面一样全部归并完了再拷贝的，那就比较麻烦了。因为中间可能会拷回去越界的随机值，所以需要一一修正边界，不推荐这种拷贝方式。

可以将拷贝放到循环里，归并多少数据就拷贝多少数据，就不会产生越界拷贝随机数的情况了，也不需要一一修正边界。

如果是第一组end1越界，那他后面也不需要归并了，直接break出去就行。

如果是第二组begin2，end2全部越界，那也是一样，说明不需要归并，也直接break即可。

如果是第二组end2越界，那end2前面一个数还需要归并，此时修正一下end2，改成n-1。

void MergeSortNon(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail");return;}int gap = 1;while (gap < n){for (int j = 0; j < n; j += 2 * gap){int begin1 = j, end1 = j + gap - 1,begin2 = j + gap, end2 = j + 2 * gap - 1;int i = j;//第一组end1越界if (end1 >= n){printf("[%d][%d]", begin1, n - 1);break;}//第二组全部越界if (begin2 >= n){printf("[%d][%d]", begin1, end1);break;}//第二组end2越界if (end2 >= n){printf("[%d][%d]", begin2, n - 1);//修正end2，继续归并end2 = n - 1;}printf("[%d][%d],[%d][%d] ", begin1, end1, begin2, end2);while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] <= a[begin2]){tmp[i++] = a[begin1++];}else{tmp[i++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[i++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[i++] = a[begin2++];}//归并哪一段，拷贝哪一段memcpy(a + j, tmp + j, sizeof(int) * (end2 - j + 1));}printf("\n");gap *= 2;}free(tmp);tmp = NULL;
}

为了方便观察，这里添加几个打印

是不是和之前画图分析的过程一样呢。这就是非递归的玩法。

如果是一次拷贝的修正边界值，麻烦一点，大家可以去尝试一下。

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