大学物理第一章质点运动学详解

参考系，坐标系，物理模型

一.运动的相对性和绝对性

一般来说，运动是绝对的，任何物体都在运动着，但运动也是相对的，都是在一定环境下和特定条件下运动的

二.参考系

运动是绝对的，但运动的描述却是相对的，因此，在确定研究对象的位置时，必须先选定一个标准物体作为基准(参考)，这个被选作标准的物体或物体群，就称为参考系

同一物体的运动，由于所选参考系的不同，对其运动的描述就会不同

例如：

在匀速直线运动的车厢中，物体的自由下落，相对于车厢是做直线运动，相对于地面却是做抛物线运动

大多数情况下，以地球为参考系最方便

三.坐标系

要想定量的描述物体的运动，就必须在参考系上建立适当的坐标系，当坐标系选定后，无论选择何种坐标系，物体运动的性质都不会改变

四.物理模型

任何一个真实的物理过程都是极其复杂的，为了简化其过程，会提出一个可供数学描述的物理模型

无论是什么物体，它的运动情况(轨迹、速度、加速度)完全相同，这时候可以忽略物体的形状、大小，而把它看成是一个具有一定质量的几何点，并称为质点，多个质点组成质点系

因此，选择合适的坐标系，可以更方便的确定物体的运动性质，建立恰当的坐标系，以定量的描述物体的运动，提出较为准确的物理模型，以确定所提问题最基本的运动规律

位置矢量、位移、速度、加速度

一.位置矢量

为了表示运动质点的位置，首先应该选定参考系，然后再参考系上选定坐标系的原点和坐标轴，质点P在直角坐标系中的位置可由P所在点的三个坐标x、y、z来确定，或者用从原点O到点P的有向线段OP=r来表示，矢量r叫作位置矢量(简称位矢，又称矢径)，坐标x、y、z也就是位矢r在坐标轴上的三个分量

在直角坐标系中，位矢r可以表示成r=xi+yj+zk

|r|=r=根号下x^2+y^2+z^2

质点的运动是质点的空间位置随时间变化的过程，质点的坐标x、y、z和位矢r都是时间t的函数，表示运动过程的函数式称为运动方程，可以写作

x=x(t)，y=y(t)，z=(t)或者r=r(t)

上式中消去t可得到轨道方程，上式是轨道方程的参数方程

轨道方程和运动方程最明显的区别，就在于轨道方程不是时间t的显函数

二.位移

！！！

如上图，设质点沿曲线轨道AB运动，在t时刻，质点在A处，在t+△t时刻，质点运动到B处，A、B两点的位矢分别由r1，r2表示，质点在△t时间间隔内位矢的增量

△r=r2-r1

称之为位移，它是描述物体位置变化大小和方向的物理量，在图上就是由起始位置A指向终止位置B的一个矢量

位移是矢量，它的运算遵守矢量加法的平行四边形法则或者三角形法则

位移的大小只能记作|△r|，不能记作△r，该数值表示位矢大小的改变，即△r=|r2|-|△r1|，而|△r|是位矢增量的模(位移的大小)，在通常情况下|△r|!=△r(|r2-r1|!=|r2|-|△r1|)

位移表示物体位置的改变，并非质点所经历的路程

位移是有向线段AB，它的量值|△r|为割线AB的长度，路程是标量，即曲线AB的长度，通常记作△s，只有在△t趋近于0时，才有|dr|=ds，注意|dr|!=dr

|△r|=根号下(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

三.速度和速率

！！！

如上图，在时刻t到t+△t这段时间内，质点的位移为△r，那么△r/△t就称为在t时刻附近△t时间内的平均速度

v=△r/△t

平均速度的方向与位移△r的方向相同，平均速度的大小与在相应的时间△t内每单位时间的位移大小相同

由于质点各个时刻的运动情况不一定相同，质点的运动可以时快时慢，方向也可以不断的改变，平均速度不能反映质点运动的真实状态，如果要精确地知道质点在某一时刻或某一位置的实际运动状态，应该使△t趋近于0，用平均速度的极限值，即瞬时速度来描述

v=lim△r/△t=dr/dt，可见速度等于位矢对时间的一阶导数

速度的方向就是△t趋近于0时，平均速度或者位移的极限方向，即沿质点所在处轨道的切线方向，并指向质点前进的一方

速度是矢量，具有大小和方向，用速率表示速度的大小，速率是标量，等于单位时间内所经过的过程，而不考虑质点运动的方向

即若在△t时间内质点所行经的路程为曲线AB，曲线AB的长度为△s，△s/△t的比值就称为t时刻附近△t时间内的平均速率，即v=△s/△t

平均速率和平均速度不能等同看待，例如：
在某一段时间内，质点环行了一个闭合路径，显然质点的位移等于0，平均速度也为0，而质点的平均速率则不等于0

瞬时速率是瞬时速度的大小，证明过程如下：

当△t趋近于0时，曲线AB的长度△s与直线AB的长度|△r|相等，即ds=|dr|，所以v=|dr|/dt=|v|

速度的模可以表示成速率，表达式为根号下vx2+vy2+vz2

速度和速率在量值上都是长度与时间之比

四.加速度

在变速运动中，物体的速度是随时间变化的，该变化可以是运动速度的变化，也可以是运动方向的变化，也可以是两者均变化，加速度就是描述质点的速度随时间变化快慢的物理量，如图，vA表示质点在时刻t、位置A处的速度，vB表示质点在时刻t+△t、位置B处的速度

从速度矢量图中可以看出，在时间△t内质点速度的增量为△v=vB-vA

与平均速度的定义类似，比值△v/△t称为t时刻附近△t时间内的平均加速度，a=(vB-vA)/△t=△v/△t

平均加速度只是反映在时间△t内速率的平均变化率，为了准确描述出某一时刻t的速度变化率，引入瞬时变化率

质点在某时刻某位置处的瞬时加速度等于该时刻附近△t趋近于零时平均加速度的极限值，其数学式为

a=lim△v/△t=dv/dt=d2r/dt2

加速度是速度对时间的一阶导数，或位矢对时间的二阶导数

加速度的模为a=|a|=根号下ax2+ay2+az2

加速度的方向是当△t趋近于0时，平均加速度或速度增量的极限方向

曲线运动的描述运动学中的两类问题

一.曲线运动的描述

若质点的运动轨迹为曲线，则称为曲线运动

如上图，从曲线上邻近的两点P1，P2各引一条切线，这两条切线间的夹角为△θ，P1、P2两点间的弧长为△s，则点P1的曲率定义为k=lim△θ/△s=dθ/ds

若曲线上无限邻近的两点上的两点切线的夹角dθ称为邻切角，则曲线上某点的曲率等于邻切角dθ与所对应的元弧长ds之比

曲率越大，曲线弯曲的越厉害，同一圆周上各点的曲率都相同

过曲线上某点作一圆，若该圆的曲率与曲线在该点的曲率相等，则称它为该点的曲率圆，而其圆心O和半径p分别称为该点的曲率中心和曲率半径，且有p=1/k

1.平面直线运动

质点做曲线运动时，△v的方向和△v/△t的极限方向一般不同于速度v的方向

在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线凹进的一边

如果速率是减慢的(|vB|<|vA|)，则a与v成钝角

如果速率是加快的(|vB|>|vA|)，则a与v成锐角

如果速率不变(|vB|=|vA|)，则a与v成直角

一般来说，将加速度沿着质点所在处轨道的切线方向和法线方向进行分解，这样得到的加速度分量分别叫作切向加速度和法向加速度

设质点的运动轨道如上图所示，t时刻质点在点P1，速度为v1，t+△t时刻质点在点P2，速度为v2，P1、P2两点的邻切角为△θ，在△t时间内，速度增量为△v，各速度之间的关系如下图所示

△v是BC矢量，如果在AC上截取|AD|=|AB|=|v1|，则剩下的部分|DC|=|AC|-|AB|=|v2|-|v1|=|△vt|=△v

即|△vt|=△v反映了速度模的增量，连接BD，并记作△vn，其反映了速度方向的增量，于是速度增量△v所包含的速度大小的增量和速度方向的增量这两个方面的含义，即△v=△vt+△vn

当△θ趋近于0时，|△vn|=v△θ(v为质点运动到P1点时的速率)，如果以n0表示点P1内法线方向的单位矢量，用t0表示点P1切线方向的单位矢量，则有

a=lim△v/△t=lim△vt/△t+lim△vn/△t=(dv/dt)t0+(vdθ/dt)n0=at+an

所以at=(dv/dt)t0，an=(v2/p)n0

即为加速度的切向分量和法向分量，切向分量反映速度大小的变化，法向分量反映速度方向的变化

|a|=根号下at^2+an^2

2.圆周运动

质点做圆周运动时，其轨道的曲率半径处处相等，速度方向始终在圆周的切线上

在自然坐标系中，位矢r是轨道s的函数，即r=r(s)

如图所示，n0表示法线方向的单位矢量，用t0表示切线方向的单位矢量，由|dr|=ds

在自然坐标系中位移、速度分别表示为dr=dst0，v=dr/dt=dst0/dt=vt0

则切向加速度和法向加速度为

式子中，R是圆半径，于是，所谓匀速圆周运动，就是指切向加速度为0的圆周的运动，即匀速率圆周运动

如上图，如果以圆心为极点，并任引一条射线为极轴，那么质点位置对极点的矢径r与极轴的夹角就叫作质点的角位置，用dθ表示位矢在dt时间内转过的角位移，角位移既有大小又有方向，方向遵循右手螺旋法则

只有在△t趋近于0时的角位移才是矢量

在圆周运动中，引入角速度和角加速度，即

ω=lim△θ/△t=dθ/dt

α=lim△ω/△t=dω/dt=d2θ/dt2

当质点做圆周运动时，R=常数，只有角位置是t的函数，所以可以按照匀变速直线运动建立起描述匀角变速圆周运动的公式，即

在圆周运动中，线量和角量之间存在如下关系，即

二.运动学中的两类问题

1.已知运动方程，求速度、加速度，求解这类问题主要是运用求导的方法

2.已知加速度和初始条件，求速度和运动方程，求解这类问题主要是运动积分的方法

相对运动

静止参考系，运动参考系的称为都是相对的

当定义了静止参考系后，对于一个处于运动参考系的物体，

把它相对于静止参考系的运动称为绝对运动

把它相对于运动参考系的运动称为相对运动

把运动参考系相对于静止参考系的运动称为牵连运动

如上图，设S为静止参考系，S'为运动参考系，设点P对S的位矢为r（绝对位矢），对S'的位矢为S'的位矢为r'（相对位矢），而点O'对点O的位矢为r0（牵连位矢），有矢量加法的三角形法则可知

r=r'+r0

即绝对位矢等于牵连位矢与相对位矢之和

将上式两边同时求导，即可得v=v'+v0

其中，v为绝对速度，v'为相对速度，v0为牵连速度

加速度同理

上述的合成法则使用前提是物体运动速度小于光速

当讨论处于同一参考系内各质点间的相对运动时，可以利用以上结论表示质点间的相对位矢和相对速度

例如：

如上图，设某质点系由A、B两质点组成，它们对某一质点系的位矢分别rA和rB，质点系内质点B对质点A的位矢显然是有质点A引向质点B的矢量rBA，则有rBA=rB-rA

rBA称为质点B对质点A的相对位矢

求导可以得到相对速度vBA

以上是对大学物理第一章概念的理解和总结，感谢大家的观看！

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