大学物理第一章笔记——高等农林院校基础课程教程系列
第一章 流体的运动
第一节 理想流体的稳定流动
引入：
流体（fluid）：能够流动的连续性物质。
流动性：液体与气体没有固定的状态，各部分之间很容易发生相对运动，这种相对运动的特征叫做流动性。
流体宏观模型在研究流体运动时的处理方法：将流体看作由无数个流体质元（流体微团）连续地组成的。（微元法）
（一）理想流体
一.理想流体的引入：由于流体具有黏性和可压缩性，一般的流体运动情景比较复杂，所以引入理想流体。
1.膨胀性：通常情况下，压强不变，流体的体积随着温度的升高而变大。（理想气体方程：PV=nRT）
（1）对于一般的液体而言，压缩性和膨胀性都比较小。但在特殊情况下（例如“水击”现象），液体的压缩性就比较强，不可以忽略。压缩性。
（2）对于气体而言，虽然气体的膨胀性、很好，但其流动性很强，在对气体进行压缩的时候，气体便可以迅速流动起来，所以气体可以认为是不可压缩的流体。
2.黏性：流体在运动过程中各层之间有阻碍相对运动的内摩擦力
（1）对于液体，当液体各层之间的相对速度比较小时，小到可以忽略不计，那么液体的黏性便可以忽略不计。
（2）气体的内摩擦力比液体的更小，可以忽略不计。
二.理想流体的定义：完全不可压缩的、没有粘、黏性的流体。
（二）稳定流动
一.稳定流动概念的引入：一般我们研究流体运动有拉格朗日法（着重于流体中流体质元的流动情况——类似于“微元法“）和欧拉法**（经过空间特定点位时的运动情况）。在使用欧拉法研究时，流速、空间位置、时间构成了一个三维信息空间，那么根据多元函数相关定义
V=f(s,t)(s为空间位置，t为时间)V=f(s,t)(s为空间位置，t为时间) V=f(s,t)(s为空间位置，t为时间)
其中
s=f(x,y,z)s=f(x,y,z) s=f(x,y,z)
如果流体体内部的流体质元的速度不变，那么流体质元的速度就是一个关于**s（x，y，z）**的函数
V=V(s)=V(f(x,y,z))V=V(s)=V(f(x,y,z)) V=V(s)=V(f(x,y,z))
二.稳定流动
流体流经的空间称为流体空间或流场 。流体的流动状态不随时间变化的流动称为***稳定流动***。
说明（在稳定流动状态下）：
- 流体在空间各点的速度、密度以及压强分布不变。
- 流体质元在不同地点的速度可以各不相同。
- “稳定流动”并不仅限于“理想流体”。
（三）流线和流管
一.流线：类似于电场线，略（欧拉法用到了”场“的思想）
二.流管：由一组流线围成的管状区就是流管。
流体运动时，流管内遵循质量守恒（流进来多少，就流出来多少）
通常我们所建立的物理模型中的流管是**“细流管”**
注意：所谓的“细流管”并不是粗细之分，细流管是指任意一个截面上的所有点的速度都一样
当横截面积S----->0时，流管就成为了流线。
（四）连续性原理
在t时间内，流入细流管的流体质量
Δm1=ρ1ΔV1=ρ1S1v1Δt\Delta m_1=\rho_1 \Delta V_1= \rho_1S_1v_1 \Delta t Δm1=ρ1ΔV1=ρ1S1v1Δt
同理，流出的质量
Δm2=ρ2ΔV2=ρ2S2v2Δt\Delta m_2=\rho_2 \Delta V_2= \rho_2S_2v_2 \Delta t Δm2=ρ2ΔV2=ρ2S2v2Δt
根据流体做稳定流动时候的能量守恒
Δm1=Δm2\Delta m_1=\Delta m_2 Δm1=Δm2
那么
ρ1S1v1=ρ2S2v2或者Qm=ρSv=C(C是一个常量，数值上等于“质量流量”)\rho_1S_1v_1=\rho_2S_2v_2或者Q_m=\rho Sv=C(C是一个常量，数值上等于“质量流量”) ρ1S1v1=ρ2S2v2或者Qm=ρSv=C(C是一个常量，数值上等于“质量流量”)
对于不可压缩的流体，密度为常量，则
Sv=Qv=CSv=Q_v=C Sv=Qv=C
总结：对于稳定流动的流体，根据连续性定理，体积流量相同
说明：
（1）流量：单位时间内流过某截面的流体体积和流体质量，流体体积和流体质量分别称为体积流量和质量流量
体积流量：
QV=vSQ_V=vS QV=vS
质量流量：
Qm=ρvSQ_m=\rho vS Qm=ρvS
（2）对于分支管道：
第二节 理想流体的伯努利方程
（一）伯努利方程推导
例子引入：理想流体在重力场中稳定流动，去图示细流管，设t内，流体从初位置ac移动到末位置bd。则在t内流过两截面S1与S2的流体体积分别为：
ΔV1=v1S1Δt\Delta V_1=v_1S_1\Delta t ΔV1=v1S1Δt
ΔV2=v2S2Δt\Delta V_2=v_2S_2 \Delta t ΔV2=v2S2Δt
又由连续性定理：
相同时间内的体积流量的累积，也就是体积相同：
ΔV1=ΔV2=ΔV\Delta V_1=\Delta V_2=\Delta V ΔV1=ΔV2=ΔV
由于流体的流动状态保持不变，则运动过程中：
对于重力势能
AG=ρΔVgh1−ρΔVgh2A_G=\rho \Delta Vgh_1-\rho \Delta Vgh_2 AG=ρΔVgh1−ρΔVgh2
对于其他流体质元对其做的功
A1=P1S1v1Δt=P1ΔV(A1是下方的流体质元对其做的功)A_1=P_1S_1v_1\Delta t=P_1\Delta V(A_1是下方的流体质元对其做的功) A1=P1S1v1Δt=P1ΔV(A1是下方的流体质元对其做的功)
A2=P2S2v2Δt=P2ΔV(A2是上方流体质元对其做的负功)A_2=P_2S_2v_2\Delta t=P_2\Delta V(A_2是上方流体质元对其做的负功) A2=P2S2v2Δt=P2ΔV(A2是上方流体质元对其做的负功)
由动能定理：
ρΔVgh1−ρΔVgh2+(P1−P2)ΔV=1/2ρΔV(v12−v22)\rho \Delta Vgh_1-\rho \Delta Vgh_2+(P_1-P_2)\Delta V=1/2 \rho \Delta V(v_1^2-v_2^2) ρΔVgh1−ρΔVgh2+(P1−P2)ΔV=1/2ρΔV(v12−v22)
去掉V:
P1+1/2ρv12+ρgh1=P2+1/2ρv22+pgh2P_1+1/2 \rho v_1^2+\rho gh_1=P_2+1/2\rho v_2^2+pgh_2 P1+1/2ρv12+ρgh1=P2+1/2ρv22+pgh2
那么会发现：
P+1/2ρv2+ρgh=C(一个常量)P+1/2\rho v^2+\rho gh=C( 一个常量) P+1/2ρv2+ρgh=C(一个常量)
但注意：
只是说为了表达简便，舍去了E_kbc
（二）伯努利方程的意义
一.伯努利方程在某种意义上是能量守恒在稳定流动的引申
p1-p2表示单位体积流体流过细流管时s1s2，外部压力做的功
pg（h1-h2）表示单位体积流体流过细流管时s1s2，重力做的功
1/2p(v_12-v_22)表示单位体积流体流过细流管时s1s2，动能的变化量
二.伯努利原理应用于流体静力学就是连通器原理
（三）伯努利方程的应用
1.空吸作用：当流体流动时，由于其内部压力减小而把其它物质吸入流体内的现象称为空吸收用。
（1）原理
根据连续性原理：
Sv=CSv=C Sv=C
和伯努利方程：
p+1/2ρv2=Cp+ 1/2\rho v^2=C p+1/2ρv2=C
我们就知道：s大v小p大，s小v大p小
那么，对于AB段的流体，当流速v比较快的时候，压强p较小，又由于P_amb连通的是大气压，当v足够大时，那么P_AB与P_amb的差值就足够大，竖直细管内的液面就会上升到AB段，然后以雾状喷出。
（2）应用：
喷雾器、水流抽气机（油扩散泵）、家俱喷漆等
(3)对于v的控制，v不能过大，否则液体流出过多，不能呈雾状喷出；不能过小，液体无法流出。
2.文丘里管——用于测流量和流速
（液体文丘里管示意图）
（气体文丘里管示意图）
3.皮托管流速计
（1）驻点：当流体遇到障碍物受阻时，会在障碍物前有一点，该店流体静止不动。
（2）原理：
4.飞机翼面
上曲下平，上快下慢，上小下大（压强）
5.压强与高度关系的应用
（注意：其中，由于P1与P2直接与大气压相连接，所以P1=P2=P0）
第三节 粘性流体的运动
（一）黏性流体的流动状态
黏性流体的流动状态分为层流、湍流和过渡流三类。
层流：当流体流速不大时，不同流层的流体之间互不混杂，只做相对滑动。这种流动状态称为层流。层流运动还有以下特点：
1.流体在远观轴心处流速最大，与圆管同轴的各层流速随着离轴线距离的增大而减小
2.在管壁处的流体速度为零。
湍流：当流体流速超过一定值时，不同流层流体之间相互混杂，流体做不规则运动的状态称为湍流。
过渡流：流体的流动介于层流和湍流之间的不稳定流动状态称为过渡流。
（二）牛顿黏滞定律
1.流体内摩擦力
黏性与内摩擦力：流体在做层流运动的时候，相邻两层之间会存在相对运动，在这两个流层之间会产生一对相互作用力，这种性质叫做黏性，这对相互作用力叫做内摩擦力。
2.牛顿粘滞定律
（1）梯度:一个物理量沿着某一个方向上的变化率,称为该物理量的梯度，梯度是一个矢量。
（2）
对于圆筒状流层，有：Ff=2πrηdvdz（η至于物体本身有关）对于圆筒状流层，有：F_f=2 \pi r \eta \frac{dv}{dz} \quad（\eta至于物体本身有关） 对于圆筒状流层，有：Ff=2πrηdzdv（η至于物体本身有关）
（三）雷诺数：用于判断流体的类型
第四节 粘性流体的流动规律
一.黏性流体的伯努利方程
黏性流体在运动过程中，由于内摩擦力（黏性），会损失一部分能量。
P1+12ρv12+ρgh1=P2+12ρv22+ρgh2+ΔEP_1+\frac12 \rho v_1^2+\rho g h_1=P_2+\frac12 \rho v_2^2+\rho gh_2+\Delta E P1+21ρv12+ρgh1=P2+21ρv22+ρgh2+ΔE
在上式子中，v和p为同一流管横截面上的平均值。在上式子中，v和p为同一流管横截面上的平均值。 在上式子中，v和p为同一流管横截面上的平均值。
对于水平均匀流管（s1=s2,v1=v2）P1=P2+ΔE而在开放的均匀管道作稳定流动时ρgh1−ρgh2=ΔE对于水平均匀流管（s_1=s_2,v_1=v_2）\\ P_1=P_2+\Delta E 而在开放的均匀管道作稳定流动时\\ \rho g h_1-\rho g h_2= \Delta E 对于水平均匀流管（s1=s2,v1=v2）P1=P2+ΔE而在开放的均匀管道作稳定流动时ρgh1−ρgh2=ΔE
以上的后两个式子分别说明：
必须维持一定压力差，流体才能流动。
必须维持一定高度差，流体才能流动。
二.泊肃叶定律——描述黏性流体在水平管道圆形管道中做稳定流动的运动状态
1.定义：黏滞系数为 的流体在压力差P_1-P_2的作用下，在半径为 R，长为l 的水平圆管中做稳定分层流动，则单位时间内流过圆管任一截面的流体体积为：
Qv=πR48ηl(P1−P2)Q_v=\frac{\pi R^4}{8\eta l}(P_1-P_2) Qv=8ηlπR4(P1−P2)
推导过程：
首先由于流体的流动具有圆柱形对称性，因此我们可以去除一段厚为dr，半径为r的小圆柱体进行研究
其次，根据牛顿第一运动定理，稳定分层流动时的液体中，
Ff=Fp即：(P1−P2)πr2+2πrlηdvdr=0F_f=F_p\\ 即：\\ (P_1-P_2)\pi r^2+2\pi r l\eta \frac{dv}{dr}=0 Ff=Fp即：(P1−P2)πr2+2πrlηdrdv=0
整理得
−dv=p1−p22ηlrdr-dv=\frac{p_1-p_2}{2 \eta l}rdr −dv=2ηlp1−p2rdr
在0—r上对r进行积分：
v(r)=−p1−p24ηlr2+C当r=R时：v(R)=0那么有：C=p1−p24ηlR2v(r)=-\frac{p_1-p_2}{4 \eta l}r^2+C\\ 当r=R时：\\ v(R)=0\\ 那么有：C=\frac{p_1-p_2}{4 \eta l}R^2 v(r)=−4ηlp1−p2r2+C当r=R时：v(R)=0那么有：C=4ηlp1−p2R2
现在我们已经得到了这个**“微元小圆柱流体”**的流速表达式，即：
v(r)=p1−p24ηl(R2−r2)v(r)=\frac{p_1-p_2}{4 \eta l}(R^2-r^2) v(r)=4ηlp1−p2(R2−r2)
那么，若要求Q_v:
Qv=∫0Rv2πrdrQ_v=\displaystyle \int^{R}_{0}{v2\pi rdr} Qv=∫0Rv2πrdr
对上列表达式（Qv=Sv）在0到R上进行积分即可：
QV=∫0Rv2πrdr=∫0Rv2π(p1−p2)4ηl(R2−r2)rdrQ_V=\displaystyle \int^{R}_{0}{v2\pi rdr}\\ =\displaystyle \int^{R}_{0}{v2\pi \frac{(p_1-p_2)}{4\eta l}(R^2-r^2)rdr}\\ QV=∫0Rv2πrdr=∫0Rv2π4ηl(p1−p2)(R2−r2)rdr
最终化为：
Qv=πR4(p1−p2)8ηlQ_v=\frac{\pi R^4(p_1-p_2)}{8\eta l} Qv=8ηlπR4(p1−p2)
2.公式运用：
（1）测量\eta（比较法）。
（2）若无压强差，流量为零，再一次说明了黏性液体的伯努利定律。
（3）植物蒸腾作用的流体动力学模型
将两单位面积叶片之间细胞间隙内的饱和水汽看成是在半径为R、长为L的圆管中做稳定分层流动。
1面为叶子的一面，而2面为另一面。
中间的小圆柱体就是气孔。
结合伯努利方程和泊肃叶方程：
根据伯努利方程：12ρ1v12+p1=12ρ2v22+p2那么p1−p2=12ρ1(v22−v12)代入：Qv=πR48ηl(P1−P2)=πρ1R416ηl(v22−v12)又由Qm=ρ2QV所以：QV=πρ1ρ2R416ηl(v22−v12)这就是单位时间内通过单位体积水蒸气质量根据伯努利方程：\\ \frac{1}{2}\rho _1v_1^2+p_1=\frac{1}{2}\rho _2v_2^2+p_2\\ 那么\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\\ p_1-p_2=\frac{1}{2}\rho_1(v_2^2-v_1^2)\\ 代入： Q_v=\frac{\pi R^4}{8\eta l}(P_1-P_2)=\frac{\pi \rho_1 R^4}{16\eta l}(v_2^2-v_1^2)\\ 又由Q_m=\rho_2Q_V\\ 所以：Q_V=\frac{\pi\rho_1 \rho_2R^4}{16\eta l}(v_2^2-v_1^2) 这就是单位时间内通过单位体积水蒸气质量 根据伯努利方程：21ρ1v12+p1=21ρ2v22+p2那么p1−p2=21ρ1(v22−v12)代入：Qv=8ηlπR4(P1−P2)=16ηlπρ1R4(v22−v12)又由Qm=ρ2QV所以：QV=16ηlπρ1ρ2R4(v22−v12)这就是单位时间内通过单位体积水蒸气质量
三.斯托克斯公式——描述球形物体在流体中运动所受粘滞阻力的的大小。
1.公式：
f=−6πηrvf=-6\pi\eta rv f=−6πηrv
2.小球在静止液体中的运动情况
半径为r的小球在黏性静止流体中自由降落
（1）小球收到三个力：重力、浮力、粘滞阻力
G=mg=43πr3ρ球gF浮=43πr3ρ流体gFf=6πηrvG=mg=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_球g\\ F_浮=\frac{4}{3}\pi r^3\rho_{流体}g\\ F_f=6\pi \eta rv G=mg=34πr3ρ球gF浮=34πr3ρ流体gFf=6πηrv
化简得：
v=2(ρ球−ρ流体)gr29ηv=\frac{2(\rho_球-\rho_{流体})gr^2}{9\eta} v=9η2(ρ球−ρ流体)gr2
此公式的应用：
（1）测定粘滞系数
（2）v与r^2呈正比，利用沉降分离法分离生物样品
（2）运动状态分析：
/u>在流体中运动所受粘滞阻力的的大小。
1.公式：
f=−6πηrvf=-6\pi\eta rv f=−6πηrv
2.小球在静止液体中的运动情况
半径为r的小球在黏性静止流体中自由降落
[外链图片转存中…(img-0yOIa10c-1616162751489)]
（1）小球收到三个力：重力、浮力、粘滞阻力
G=mg=43πr3ρ球gF浮=43πr3ρ流体gFf=6πηrvG=mg=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_球g\\ F_浮=\frac{4}{3}\pi r^3\rho_{流体}g\\ F_f=6\pi \eta rv G=mg=34πr3ρ球gF浮=34πr3ρ流体gFf=6πηrv
化简得：
v=2(ρ球−ρ流体)gr29ηv=\frac{2(\rho_球-\rho_{流体})gr^2}{9\eta} v=9η2(ρ球−ρ流体)gr2
此公式的应用：
（1）测定粘滞系数
（2）v与r^2呈正比，利用沉降分离法分离生物样品
（2）运动状态分析：
通过分析运动状态以及最终公式，我们发现小球先做一个复杂的变加速运动，最后达到稳定状态的时候，粘滞阻力不再变化，v是一个确定值。我们称这个速度为最终速度、沉降速度、收尾速度。
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