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上期Gilbreath Principle开篇我们介绍了几个基本概念：Gilbreath Shuffle，Gilbreath Permutation以及Gilbreath First Principle，理清了它们的基本关系，Shuffle是操作，Permutation是结果，First Principle是其基本性质之一，相关内容请戳：

Gilbreath原理中的数学与魔术（一）——Gilbreath Shuffle & First Principle

今天我们来继续介绍Gilbreath系列的重磅炸弹：Ultimate Gilbreath Principle & Mandelbrot 集合。

The Ultimate Gilbreath Principle

内容如下：

对于一个以1:N为代表元素的长度为N的排列pi，以下性质相互等价：

1. pi是一个Gilbreath Permutation；

2. 对于任意j，其顶部j张牌pi[:j]模j的值一定互不相同；

3. 对任意的j，k，jk <= N, pi[(k - 1)j:kj]模j的值一定互不相同；

4. 对于任意的j，顶部j张牌pi[:j]一定是一个连续整数序列的排列。

怎么样，看起来有点复杂，很难吗？

这一点都不难，我带你一点点理解一下。首先性质4其实就是Gilbreath Permutation的定义，也是Gilbreath Shuffle的结果，可以和1一起作为等价的基准。另外，这个性质的一个等价表述就是性质2，连续整数序列显然就是其长度对应的模n加法群的一个完全代表系，2自然成立；又因为序列长度就是j，mod也是j，因此遍历了这个群的所有元素，再根据j递增带来的递推关系，2也能推4，于是2和4等价。

至于3，首先它包含了2的内容，取k = 1即可。而当k  > 1的时候，对应的pi[(k - 1)j:kj]序列，可以看作中间断掉了长度为j(k - 1)这么长的序列以后剩下的部分，这些元素是0~kj - 1，其mod j的余数为1, 2, ......, j - 1, 0，如此循环k组，而裁掉的也一样，是(k - 1)组0~j - 1的mod j余数，于是所求的那一段刚好剩下一组，于是性质3的结论成立，这一段序列mod j的值一定互不相同，而且恰好遍历所有可能的余数0:(j - 1)。

总的看来，这一套组合拳并没有说更多有用的东西，唯一比较有用的是3，3其实也可以看作是Gilbreath First Principle的一个更一般的表述，后者则限定了序列本身要有周期性。这个地方的mod j互不相同，本质上是对所有mod j值的遍历，也就是同一个集合，那这里就存在一种集合意义上的常量了！那什么序列真的能用上这个集合常量呢？模运算在序列上和周期序列是紧密相关的，当序列本身是周期序列的时候，模的遍历其实就是一个完整周期的遍历，自然带来的周期内所有元素集合相等的周期更迭，只不过，这个周期性其实可以看作长度为1，步长为原周期长度了，因此它并没有相位移动之说，再切一次牌，规律就会乱掉，但是在这之前还是周期序列的时候，是可以随便切的，这里切牌和Gilbreath Shuffle之间没有交换律。不过，其强大之处在于，这个性质不吃周期长短，甚至如前所说，各个不同性质造成的不同长度的周期还能够共存，在这个基础之上，我们就能创造出很多了不起的魔术了。

Gilbreath Principle & Mandelbrot set

我第一次读到这部分内容的时候是有些震惊和没有能完全理解的。毕竟这是一个离散序列上一个关于洗牌的序列性质，和penrose tiling（非平移的无限对称密铺问题）勉强还可能有点关系，但是怎么和Mandelbrot set这样一个复数空间上的集合扯上关系的，还是着实让我震惊。很深的证明这里暂不涉及，提供一些事实供大家欣赏，思考。

Mandelbrot set是一个复数集合，是序列x_(n + 1) = xn ^ 2 + c（x0 = 0）所有使得其不发散而具有周期性的c的复数集合。可以看到，序列的每一项其实就是c的多项式，而且其最高次项由于平方的关系，呈现指数增长，比如前面几项就是0, c, c ^ 2 + c, c ^ 4 + 2c ^ 3 + c ^ 2 + c, ......可以看到，每个多项式的都有c = 0这个根，剔除以后，也有不少复数根。其在复平面上呈现出自相似的分形图案的特征，也就是大家常见的这个美不胜收的图。

图1 Mandelbrot set

视频1 Mandelbrot set

有时看到这里，才又一次地惊诧于数学之美，而且这深邃的美的背后，一定还潜藏着数学的真理。

有几个常见的关于Mandelbrot set的结论，比如|c| <= 1 / 4的c都在M内，M内的c都有|c|  <= 2等等，详细证明这里就先略过了。咱们重点看看它和Gilbreath Principle的关系。

我们取某实数c in M，假设其周期为T，那么其前T项的值构成的排列的序（order），即索引到每个索引元素大小的排名的映射，从1开始逆时针一圈形成的cycle notation所对应的排列（其实就是对应的逆排列）的逆排列一定是一个Gilbreath序列！

比如c = - 1.3107...，周期为4，对应的前4项序为3, 1, 4, 2,由此对应逆的cycle notation表示为(1 3 2 4)，对应真实排列是（3, 4, 2, 1）而这，刚好是Gilbreath序列。

什么，这怎么可能成立的！

而且，当周期长度增加时候，这样的Mandelbrot set对应的实数c的个数，也就是对应的这样的n阶轮换的Gilbreath序列的数量，在OEIS数据库中也有着明确的记载。然而，并不是所有的Gilbreath Permutation都是n-cycle的，其数量公式由Roger和Weiss研究而来，大约只有1 / n的Gilbreath序列满足要求，也就是 2 ^ (n - 1) / n那么多而已。

实验一把还真是这样！

而中间每一次很绕的操作，都一定有着深厚美妙的数学根基。

最后提一下，这个Gilbreath Permutation还被用来在计算机排序的时候，如果有D的磁盘，L个block，我们无法同时在一个磁盘上度多个block，那么这个block的读取顺序就至关重要，而Gilbreath Permutation满足这样的特性，能够轻而易举地构造出，每D个读取单元内，都是在不同磁盘上的block而不会冲突，因为每个D长度的都是这D个磁盘的重排，引入了随机性，又不会破坏我们的要求，这个方法叫做“improved superblock stripping”，被记载在了Donald Knuth的计算机科学圣经《The Art of Computer Programming》中。

说实话，学到这里，我是第一次发现魔术和数学，和计算机科学，竟然有着这么紧密的联系，紧密到性感的联系。自从1958年，Gilbreath在Linking Ring上发表了这个魔术原理，又经过Martin Gardner等一系列数学和魔术大师的修缮应用，这一议题直到今天一直散发着它的活力。

到此，Gilbreath的相关基本数学内容就介绍完了，接下来，我们来看下利用这个原理做的魔术，中间也会涉及到一些数学理解和魔术方面的设计，敬请期待。

最后放几个后面要讲的表演视频，下一期开始，我们正式进入魔术部分！

视频1 Gilbreath四重预言

视频2 20张的占卜术

视频3 同花or顺子

视频4 esp卡片巧合

视频5 双重洗牌预言

视频6 the anwser to the universe

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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