信号处理：<一> DFT和FFT

1、 DFT数学表达式
2 、WNknW_N^{kn}WNkn的理解
2 、FFT的理解
- 2.1 基于时间的傅里叶变化
3、编程思想
- 3.1 原位计算
4、反傅里叶变化
5、参考资料

DFT，即离散傅里叶变化，是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。

1、 DFT数学表达式

X[k]=∑n=0Nx[n]WNkn=∑n=0Nx[n]e−j2πknNX[k] = \sum\limits_{n = 0}^N {x[n]} W_N^{kn} = \sum\limits_{n = 0}^N {x[n]} {e^{ - j\frac{{2\pi k{\rm{n}}}}{N}}} X[k]=n=0∑Nx[n]WNkn=n=0∑Nx[n]e−jN2πkn
其中0≤k≤N{0 \le k \le N}0≤k≤N。
从上式可以看出，做DFT需要N2N^2N2次复数乘法和N(N−1)N(N-1)N(N−1)次复数加法【求一个点X[k]需要NNN次复数乘法和N−1N-1N−1次复数加法】，而一次复数乘法又由4次实数乘法和2次实数加法构成，一次复数加法由2次实数加法构成，具体解释如下：
(a+jb)∙(c+jd)=[ac−bd]+j[ad+bc](a+jb)+(c+jd)=[a+c]+j[b+d]\begin{array}{l} \left( {a + jb} \right) \bullet \left( {c + jd} \right) = \left[ {ac - bd} \right] + j\left[ {ad + bc} \right]\\ \left( {a + jb} \right) + \left( {c + jd} \right) = \left[ {a + c} \right] + j[b + d] \end{array} (a+jb)∙(c+jd)=[ac−bd]+j[ad+bc](a+jb)+(c+jd)=[a+c]+j[b+d]因此，作DFT需要4N24N^24N2次实数乘法和(2N2+2N2−2N)或[2(2N2−N](2N^2+2N^2-2N)或[2(2N^2-N](2N2+2N2−2N)或[2(2N2−N]次实数加法。为了降低复杂度，引出了FFT算法，其思想为用分解的思想将N点DFT的计算依次分解为尺寸较小的DFT计算并利用复数WNknW_N^{kn}WNkn的周期性和对称性计算。

2 、WNknW_N^{kn}WNkn的理解

WNkn=e−j2πkn/N=cos(j2πkn/N)−jsin(j2πkn/N)W_N^{kn}=e ^{-j2\pi kn/N}=cos(j2 \pi kn/N)-jsin(j2 \pi kn/N)WNkn=e−j2πkn/N=cos(j2πkn/N)−jsin(j2πkn/N),WNknW_N^{kn}WNkn是WNW_NWN的kn次幂，WN1=e−j2πkn/N=cos(j2π/N)−jsin(j2π/N)W_N^{1}=e ^{-j2\pi kn/N}=cos(j2 \pi /N)-jsin(j2 \pi /N)WN1=e−j2πkn/N=cos(j2π/N)−jsin(j2π/N)，WN1W_N^{1}WN1可以理解为将单位圆360角化为NNN份，因此$W_N^{1}实际上就是一个在复平面单位圆上旋转的值。如下图所示：将单位圆对应的360划分为8份，则每一份所对应的为45度。

从图中不难得出旋转因子的性质：
a）周期性：WNa+N=WNaW_N^{a+N}=W_N^{a}WNa+N=WNa
b) 对称性：WNa+N/2=−WNaW_N^{a+N/2}=-W_N^{a}WNa+N/2=−WNa
c) 缩放性：WN2=−WN/21W_N^{2}=-W_{N/2}^{1}WN2=−WN/21

2 、FFT的理解

2.1 基于时间的傅里叶变化

如图所示：x(n)x(n)x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即

x1(n)x1(n)x1(n)和x2(n)x2(n)x2(n)的长度都是N／2N／2N／2，x1(n)x_1(n)x1(n)是偶数序列，x2(n)x_2(n)x2(n)是奇数序列，x1(n)=x(2n)x_1(n)=x(2n)x1(n)=x(2n),x2(n)=x(2n+1)x_2(n)=x(2n+1)x2(n)=x(2n+1),n=0,1...N/2−1n=0,1...N/2-1n=0,1...N/2−1。则
X(k)=∑n=0(n为偶数)Nx[n]WNkn+∑n=0(n为奇数)Nx[n]WNkn=∑n=0N/2−1x1[n]WN2kn+∑n=0N/2−1x[n]WNk(2n+1)X(k)= \sum\limits_{n = 0(n为偶数)}^N {x[n]} W_N^{kn}+\sum\limits_{n = 0(n为奇数)}^N {x[n]} W_N^{kn}=\sum\limits_{n = 0}^{N/2-1} {x_1[n]} W_N^{2kn}+\sum\limits_{n = 0}^{N/2-1} {x[n]} W_N^{k(2n+1)} X(k)=n=0(n为偶数)∑Nx[n]WNkn+n=0(n为奇数)∑Nx[n]WNkn=n=0∑N/2−1x1[n]WN2kn+n=0∑N/2−1x[n]WNk(2n+1)
其中X1(k)X_1(k)X1(k)和X2(k)X_2(k)X2(k)分别为x1(n)x_1(n)x1(n)和x2(n)x_2(n)x2(n)的N／2点DFT。
X1[k]=∑n=0N/2−1x1[n]WN/2knX_1[k] = \sum\limits_{n = 0}^{N/2-1} {x_1[n]} W_{N/2}^{kn} X1[k]=n=0∑N/2−1x1[n]WN/2kn
X2[k]=∑n=0N/2−1x2[n]WN/2knX_2[k] = \sum\limits_{n = 0}^{N/2-1} {x_2[n]} W_{N/2}^{kn} X2[k]=n=0∑N/2−1x2[n]WN/2kn
由于X1(k)X_1(k)X1(k)和X2(k)X_2(k)X2(k)均以N／2为周期，且由对称性知WNk+N/2=−WNkW_N^{k+N/2}=-W_N^{k}WNk+N/2=−WNk，所以X(k)又可表示为：

上式的运算可以用下图表示，根据其形状称之为蝶形运算。

从上图可以看出将N点DFT分解为N／2个两点DFT，计算一个碟形运算需要1次复数乘法和2次复数加法。以最开始给的N=8为例，
计算一个NNN点的DFT需要计算两个N/2N/2N/2的DFT和N/2的蝶形运算，依次类推，可以发现，计算N点的DFT最终可以分成N/2个两个的DFT，通过归纳可以发现，N点的DFT总共可以分为log2Nlog_2^{N}log2N级，每级有N/2N/2N/2个蝶形运算构成，因此每级总共有N/2次N/2次N/2次复乘和NNN次复加，一个NNN点的DFT总共有N/2log2NN/2log_2^{N}N/2log2N次复数乘法和Nlog2NNlog_2^{N}Nlog2N
直接计算DFT和利用FFT计算DFT的运算量对比如下图所示：

3、编程思想

3.1 原位计算

4、反傅里叶变化

5、参考资料

【1】快速傅里叶变换FFT解析
【2】快速傅里叶变换(FFT)的推导过程(DIT)
【3】快速傅里叶变换FFTppt课件.ppt
【4】1024点fft原理及fpga实现
【5】快速傅里叶变换FFT-PPT（精

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