《离散数学及其应用》读书笔记【三】计数

计数基础

乘法法则：

假定一个过程可以被分解成两个任务如果完成第一个任务有n1种方式在第一个任务完成之后又n2种方式完成第二个任务那么完成这个过程由n1n2种方式
（用来描述多项任务中不同任务中方式同时发生的概率）
简单的例子：
一个班级有30个座位问现在有两个学生可以有多少种座法
30*29= 870种可能

求和法则：

如果完成一项任务与n1种方式完成第二项任务有n2种方式并且这些任务不能同时完成那么完成第一或第二项任务有n1+n2种方式
（用来描述多项任务中发生出现某一方式的概率）
简单的例子：
有两个班级各30个座位问一个同学可以有多少种座法
30+30=60

容斥原理：

排除两者的重复项

树图：

可以求解计数问题一棵树由根从根出发的许多分支以及可能从其他分支端点出发的新的分支构成为了在计数中使用树我们用一个分支表示每个可能的选择用树叶表示可能的结果这些树叶是某些分支的端点从这些端点不再进一步分支

鸽巢原理(狄利克雷抽屉原理)：

鸽巢原理：

如果k+1个或更多的物体放入k个盒子那么至少有一个盒子包含了两个或更多的物体

广义鸽巢原理：

如果N个物体放入k个盒子那么至少有一个盒子包含了至少n/k个物体

排列与组合

排列：

组合：

组合公式

二项式定理：

建议看可汗学院微积分预备课

扩展：（组合扩展不建议看）

（若不恰当还望指针）
排列
一个简单的例子：
某学校一年级有3名学生{a,b,c} 考虑排列顺序（看成元组）

1.选出1名同学照相有多少种可能
3种分别是 a,b,c

2.选出两名同学站成一行有多少种可能
3*2=6种分别是 (a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b)

扩展后的例子

当有30名学生的时候

3.选出1名同学照相有多少种可能
30种分别是 a,b,c…

4.选出两名同学站成一行有多少种可能
30*29=870种分别是 (a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b)…

分析上面的例子我们不难看出选取一名同学的可能性为他当前所在集合元素的基数当有一个元素被拿出以后基数随之减一所以当考虑集合为三名同学的情况下选取第一人的可能性为3 选取第二人可能性为2 而考虑他们所组成的元组则为每一次可能性的乘积故选取两名同学站成一行有3*2=6种可能性
由此可以表示成函数形式 P(n,r)=n*（n-1）…（n-r+1）

组合：
某学校一年级有3名学生{a,b,c} 不考虑排列顺序（看成集合）

1.选出1名同学照相有多少种可能
3种分别是 {a},{b},{c}

2.选出两名同学站成一行有多少种可能
(3*2)/(2*1)=3种分别是 {a,b},{a,c},{b,c}

一：从排列中2的例子我们可以看出如果做为集合{a,b}={b,a} {a,c}={c,a} {b,c}={c,b} 所以不考虑排列顺序情况下排除重复项后即为多少种可能性
表示成集合的形式 A∪B = (A+B)-(A∩B)

扩展后的例子

3.选出三名同学站成一行有多少种可能
（3*2*1）/(3*2*1)=1种{a,b,c}即为集合本身

4 当有30名学生的时候选出三名同学站成一行有多少种可能
（30）/(1)=30种可能性

5 当有30名学生的时候选出两名同学站成一行有多少种可能
（30*29）/(2*1)=435种可能性

6 当有30名学生的时候选出三名同学站成一行有多少种可能
（30*29*28）/(3*2*1)=4060种可能性

这里不太好描述清也许语句有误
二：考虑题6如果考虑排列顺序时共有30*29*28=24360种可能然后不考虑排列顺序的情况下则将共有的部分去除

三：考虑题4不管考虑不考虑顺序是因为其为单个元素所以不会和其他组合具有共同的部分所以其可能性排列与组合相同

四：考虑题5 因为其有两个元素第一个元素被选出的可能性为30第二个可能性为29 不考虑重复部分的情况下共有30*29种可能（笛卡尔乘积）
然后将其重复的部分剔除即为不考虑顺序后的可能性
然后我们要去寻找它具有哪些相同部分
从<一 >我们可以看出其重复部分为元素位置发生改变
然后我们考虑当有两元素的情况下共有多少种元素位置不同的排列排列具有什么样的特性然后我们会发现和排列具有相同的特性不过还是稍有不同然后我们可以表示成（j为选出元素的个数）P(j,1)=j*（j-1）…1
最后组合为 C(n,r)/P(j,1)==C(n,r)/P(n-r,1)==(n*（n-1）…（n-r+1）)/(n-r)*（n-r-1）…1

表示后面写的有些乱不过思想是获取考虑顺序时的可能性然后去除重复