题目大意

　　给你一棵树，有\(n\)个点。还给你了一个整数\(k\)。

　　设\(S\)为树上某些点的集合，定义\(f(S)\)为最小的包含\(S\)的联通子图的大小。

　　\(n\)个点选\(k\)个点一共有\(\binom{n}{k}\)中方案，请你求出所有方案的\(f(S)\)的和\(\mod 924844033\)。

　　出题人觉得这样就太简单了，他决定让你求出所有\(k=1\ldots n\)的答案。

　　\(n\leq 200000\)

题解

　　似乎对于每个\(k\)没办法快速求出答案。

　　我们考虑一个点对所有答案的贡献。

　　一个点\(x\)在这个联通子图内当且经当这\(k\)个点不在以\(x\)为根时\(x\)的子树内。

　　那么贡献为\(\binom{n}{k}-\sum \binom{a_i}{k}\)，其中\(a_i\)为以\(x\)为根时各个子树的大小。可以发现，计算总的贡献时每条边两端的子树大小都会被计算一次。\(\binom{n}{k}\)会被计算\(n\)次。

　　设
\[ b_i= \begin{cases} n~~~~~~~~~~(i=n)\\ num_i~~~(i\neq n) \end{cases} \]
其中\(num_i\)为大小为\(i\)的子树的个数
\[ \begin{align} ans_k&=\sum_{i\geq k} b_i\binom{i}{k}\\ &=\sum_{i\geq k} b_i\frac{i!}{(i-k)!k!}\\ &=\frac 1{k!}\sum_{i\geq k}b_ii!\times \frac{1}{(i-k)!} \end{align} \]
　　这可以转化成卷积的形式
\[ \begin{align} c_{n-i}&=num_ii!\\ d_{i}&=\frac{1}{i!}\\ a_i&=\sum_{j+k=i}c_id_i\\ ans_i&=\frac{a_{n-i}}{i!} \end{align} \]
　　时间复杂度：\(O(n\log n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
const ll p=924844033;
const ll g=5;
ll fp(ll a,ll b)
{ll s=1;while(b){if(b&1)s=s*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}return s;
}
namespace ntt
{ll w1[1000010];ll w2[1000010];int rev[1000010];int n;void init(){
#ifdef DEBUGn=16;
#elsen=524288;
#endifint i;for(i=1;i<=n;i<<=1){w1[i]=fp(g,(p-1)/i);w2[i]=fp(w1[i],p-2);}rev[0]=0;for(i=1;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);}void ntt(ll *a,int t){int i,j,k;ll u,v,w,wn;for(i=0;i<n;i++)if(rev[i]<i)swap(a[i],a[rev[i]]);for(i=2;i<=n;i<<=1){wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);for(j=0;j<n;j+=i){w=1;for(k=j;k<j+i/2;k++){u=a[k];v=a[k+i/2]*w%p;a[k]=(u+v)%p;a[k+i/2]=(u-v)%p;w=w*wn%p;}}}if(t==-1){ll inv=fp(n,p-2);for(i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*inv%p;}}
};
ll b[1000010];
ll c[1000010];
ll a[1000010];
ll inv[1000010];
ll fac[1000010];
ll ifac[1000010];
int s[1000010];
int n;
list<int> l[200010];
ll num[1000010];
void dfs(int x,int fa)
{s[x]=1;for(auto v:l[x])if(v!=fa){dfs(v,x);s[x]+=s[v];num[s[v]]--;num[n-s[v]]--;}
}
int main()
{
#ifdef DEBUGfreopen("b.in","r",stdin);freopen("b.out","w",stdout);
#endifscanf("%d",&n);int i,x,y;for(i=1;i<=n-1;i++){scanf("%d%d",&x,&y);l[x].push_back(y);l[y].push_back(x);}inv[0]=inv[1]=fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;for(i=2;i<=n;i++){inv[i]=-(p/i)*inv[p%i]%p;fac[i]=fac[i-1]*i%p;ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;}dfs(1,0);num[n]=n;for(i=0;i<=n;i++)b[i]=num[n-i]*fac[n-i]%p;for(i=0;i<=n;i++)c[i]=ifac[i];ntt::init();ntt::ntt(b,1);ntt::ntt(c,1);for(i=0;i<ntt::n;i++)a[i]=b[i]*c[i]%p;ntt::ntt(a,-1);for(i=1;i<=n;i++){ll ans=a[n-i]*ifac[i]%p;ans=(ans+p)%p;printf("%lld\n",ans);}return 0;
}