[时间序列分析][4]--AR模型,MA模型,ARMA模型介绍

自相关和偏自相关的两个函数代码

由于后面会经常画一组序列自相关和偏自相关的图像，所以就把自己写的这个两个画图的函数的代码贴上，供大家参考。

首先是自相关的函数
输入的三个参数分别是{数据，滞后数，置信度}

pacf[data_, lmax_, clev_: 0.95] := Show[ListPlot[CorrelationFunction[data, {lmax}], Filling -> Axis, PlotRange -> {{0, lmax}, {-1.5, 1.5}}, PlotStyle -> PointSize[Medium], PlotLabel -> "自相关图", FillingStyle -> Directive[Thickness[.01], Green, Dashed]],Graphics[{Dashed, Line[{{0, #}, {lmax, #}}]}] & /@ (Quantile[NormalDistribution[], {(1 - clev)/2, 1 - (1 - clev)/2}]/Sqrt[Length[data]])];

接着是偏自相关的函数

papf[data_, lmax_, clev_: 0.95] := Show[ListPlot[PartialCorrelationFunction[data, {lmax}], Filling -> Axis, PlotRange -> {{0, lmax}, {-1.5, 1.5}}, PlotStyle -> PointSize[Medium], PlotLabel -> "偏自相关图", FillingStyle -> Directive[Thickness[.01], Green, Dashed]],Graphics[{Dashed, Line[{{0, #}, {lmax, #}}]}] & /@ (Quantile[NormalDistribution[], {(1 - clev)/2, 1 - (1 - clev)/2}]/Sqrt[Length[data]])];

AR模型

AR模型的定义

—————

AR模型平稳性判别

AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的。

判别方法
1. 单位根判别法
2. 平稳域判别法

关于这两种方法的证明挺长的，由于要是我们分析实际数据，是不必考虑这些的，关于平稳性只是从模型的角度去推的，所以我准备不讲这两个方法的推到，举几个平稳和不平稳的例子看一下。

第一个平稳的AR模型

这个AR模型的递推式子是x[t]=0.8*x[t-1]+e，其实e是一个误差项。
x[1]=5,x[2]=3

Clear[x];
x[1] = 5;
x[2] = 3;x[t_] := x[t] = .8*x[t - 1] + RandomReal[NormalDistribution[]];
ListPlot[Table[x[i], {i, 1, 100}],PlotRange -> All,PlotRangePadding -> Scaled[.09],Filling -> Axis]

我们看一下画出来的图像

我们看一下他没有噪声的图像是什么样子的

Clear[x];
x[1] = 5;
x[2] = 3;x[t_] := x[t] = .8*x[t - 1];
ListPlot[Table[x[i], {i, 1, 100}],PlotRange -> All,PlotRangePadding -> Scaled[.09],Filling -> Axis]

来看一下他的图像

我们可以看到是这样单调递减趋于0的

第二个平稳的AR模型

我们再来看一个平稳的AR模型

Clear[x];
x[1] = 5;
x[2] = 3;x[t_] := x[t] = x[t - 1] - .5 x[t - 2] + RandomReal[NormalDistribution[]];
data = Table[x[i], {i, 1, 100}];
ListPlot[data,PlotRange -> All,PlotRangePadding -> Scaled[.09],Filling -> Axis]

看一下画出来的图像

其实我很好奇这样的数据是不是白噪声，我们来做一下检验首先我们来看一下他的自相关系数和偏自相关系数

pacf[data, 20, .95]
papf[data, 20, .95]

我们看自相关图可以很明显的看出其有一阶自相关，不是白噪声接着我们做一下白噪声检验

ListPlot[Table[AutocorrelationTest[Table[x[i], {i, 1, 100}], i], {i, 1, 10}], Filling -> Axis, PlotRange -> All]

可以看到p - 值很小，不是白噪声。 > 有没有觉得很神奇，明明看上去一点规律都没有的数据，其实是有规律的。我们老师最近总是爱引用爱因斯坦的一句话，宇宙最不能让人理解的地方, 是宇宙竟然能够被理解

非平稳的AR模型

接下来我们看一个非平稳的AR模型

Clear[x]
x[1] = 5;
x[2] = 3;x[t_] := x[t] = x[t - 1] + .5 x[t - 2] + RandomReal[NormalDistribution[]];
ListPlot[Table[x[i], {i, 1, 100}],PlotRange -> All,PlotRangePadding -> Scaled[.09],Filling -> Axis]

可以看到其散点图是不收敛的。

AR模型的一些性质

若AR模型满足平稳性条件，则他的均值为0，我们可以从上面的图中看出
AR模型的自相关系数是呈复指数衰减– 有拖尾性
AR模型的偏自相关系数有截尾性
注意第二,第三条很重要，后面可以用来做模型的识别。我在强调一遍
AR模型的自相关系数是呈复指数衰减– 有拖尾性
* AR模型的偏自相关系数有截尾性*

MA模型

MA模型的定义

MA模型的可逆性

这个性质在推到MA模型的相关系数和自相关系数的时候比较有用，在这里我们就大概了解一下他是什么意思。
看一下可逆的定义

接下来看一下MA模型怎么转换成AR模型

最后我们看一下什么样的MA模型可以转化为AR模型

可逆MA模型的应用

对于一些MA模型，虽然其生成的式子不一样，但是其自相关图是一样的，要是我们能用可逆的MA来做分析，可以将问题变得简洁，当然这些都是在式子推导的过程中的问题，在处理数据时我们可以不考虑这些。
下面我们来看一个式子不同但自相关系数图一样的例子：

rd = RandomReal[NormalDistribution[], {100}];
data = RotateLeft[rd] - 2*rd;
data = data[[;; -2]];
Transpose[{data, RotateLeft[data]}] // ListPlot
ListLinePlot[data]
pacf[data, 20, 0.95]
papf[data, 20, 0.95]
ListPlot[Table[AutocorrelationTest[data, i], {i, 1, 10}], Filling -> Axis, PlotRange -> All, PlotLabel -> "白噪声检验"]

这个代码应该会画出5张图片，我这里暂时不全放。看一下其自相关和偏自相关图：

data = RotateLeft[rd] - .5*rd;
data = data[[;; -2]];
Transpose[{data, RotateLeft[data]}] // ListPlot
ListLinePlot[data]
pacf[data, 20, 0.95]
papf[data, 20, 0.95]
ListPlot[Table[AutocorrelationTest[data, i], {i, 1, 10}], Filling -> Axis, PlotRange -> All, PlotLabel -> "白噪声检验"]

这个真的是两张图片，可以看到他们是一样的，完全一样的。而第一个是可逆的，即可以转换为AR模型的，具体转换方式可以看下图

MA模型的性质

自相关系数q阶截尾
偏自相关系数q阶拖尾
这个是只有自相关系数是截尾的
很重要，后面模型的识别会用到

ARMA模型

ARMA模型的定义

ARMA模型的一个例子

看一个ARMA (1, 1) 的例子 - xt = .5*x (t - 1) + et - 0.8 e (t - 1)

Clear[x];
x[1] = 10;
rd = RandomReal[NormalDistribution[0, .1], {100}];
temp = RotateLeft[rd] - .8*rd;
x[t_] := x[t] = .7*x[t - 1] + temp[[t - 1]];
data = Table[x[i], {i, 1, 100}];
Transpose[{data, RotateLeft[data]}] // ListPlot
ListLinePlot[data]
pacf[data, 20, 0.95]
papf[data, 20, 0.95]
ListPlot[Table[AutocorrelationTest[data, i], {i, 1, 10}], Filling -> Axis, PlotRange -> All, PlotLabel -> "白噪声检验"]

第一张图片是前后数据画的散点图，可以用来看是否有一阶自相关，第二张图是时序图

ARMA模型的性质

自相关系数拖尾
偏自相关系数拖尾
这个是两个系数都拖尾

三个模型性质的总结

后记

这是我用MarkDown写的第一篇文章，感觉还是挺方便的，一切还在熟悉当中

放一下markdown的一些快捷键

一些markdown的快捷键

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2017/4/20