HDU4370 0 or 1 最短路

分析：

1001 (已更新)

显然，题目给的是一个0/1规划模型。
解题的关键在于如何看出这个模型的本质。
3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：
1.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1
2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1
3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度
于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

（我自己略作添加，一种情况对应一条路径，路径权值为这种情况的答案，求答案最小，即求最短路）
最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。
以上情况设为A
非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）
漏了如下的情况B：
从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。
容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。
由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。
因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）
故最终答案为min(path,c1+c2)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=3e2+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct Edge{int v,w;bool operator<(const Edge &rhs)const{return w>rhs.w;}
};
bool vis[N];
int n,mp[N][N],d[N];
priority_queue<Edge>q;
void dij(int s){for(int i=1;i<=n;++i)d[i]=INF,vis[i]=0;d[s]=0,q.push(Edge{s,0});while(!q.empty()){int u=q.top().v;q.pop();if(vis[u])continue;vis[u]=1;for(int v=1;v<=n;++v){if(!vis[v]&&d[v]>d[u]+mp[u][v]){d[v]=d[u]+mp[u][v];q.push(Edge{v,d[v]});}}}
}
int main(){ while(~scanf("%d",&n)){for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)scanf("%d",&mp[i][j]);dij(1);int x=INF,y=INF,ans=d[n];for(int i=2;i<=n;++i)x=min(x,d[i]+mp[i][1]);dij(n);for(int i=1;i<n;++i)y=min(y,d[i]+mp[i][n]);printf("%d\n",min(ans,x+y));}return 0;
}

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