求最大公因数的几种算法

我们经常会遇到有关数论的题目，求解最大公因数便是常见的题目之一，以下为几种常见的方法，他们的主要结构均为递归

（1）辗转相除法
这便是著名的欧几里得算法
Euclid规则：如果x和y是正整数，且有x>=y，那么gcd(x,y)=gcd(x mod y,y)。

int gcd(int a,int b)
{if(a<b){swap(a,b);}if(b==0){return a;}return gcd(b,a%b);
}

例如：求25和11两个数的最大公约数，即求gcd（25，11）
a = x * b + y --> b = x’ * (a%b) + y’ 当y‘==0时，a%b即为它俩的最大公约数
25 = 2 * 11 + 3
11 = 3 * 3 + 2
3 = 1 * 2 + 1
2 = 2 * 1 + 0

（2）更相减损法
百度百科中的介绍如下：
更相减损法,又称"等值算法"
“关于约分问题,实质是如何求分子,分母最大公约数的问题.《九章算术》中介绍了这个方法,叫做”更相减损术”,即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
　　翻译成现代语言如下：
　　第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
　　第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
　　则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
　　
非递归实现

int gcd2(int a,int b)
{int ans=1;while(a%2!=0&&b%2!=0){a = a/2;b = b/2;ans=ans*2;}while(a != b){if(a>b){a = a-b;}else{b = b-a;}}return ans*a;
}

递归实现

int gcd2_2(int a,int b)
{if(a<b){swap(a,b);}if(a==b){return a;}int temp=a-b;if(temp<b){return gcd2_2(b,temp); }else{return gcd2_2(temp,b);}}

递归实现实现需在a，b为奇数时实现
当a，b为任意正整数时，可用如下方式结合然后加以实现：

int gcd2(int a,int b)
{int ans=1;while(a%2!=0&&b%2!=0){a = a/2;b = b/2;ans=ans*2;}a=gcd2_2(a,b);return ans*a;
}

例如：求91和49的最大公约数gcd2(91,49)
91 - 49 = 42
49 - 42 = 7
42 - 7 = 35
35 - 7 = 28
28 - 7 = 14
14 - 7 = 7

（3）分治法
算法思想：
当a，b都是偶数时，gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2);
当a是奇数，b是偶数时，gcd(a,b)=gcd(a,b/2);
当a是偶数，b是奇数时，gcd(a,b)=gcd(a/2,b);
当a，b都是奇数时，gcd(a,b)=gcd((a-b)/2,b).

代码实现如下：

int gcd3(int a,int b)
{if(a<b){swap(a,b);}if(b==0){return a;}if(a%2==0&&b%2==0){return 2*gcd3(a/2,b/2);}else if(a%2!=0&&b%2==0){return gcd3(a,b/2);}else if(a%2==0&&b%2!=0){return gcd3(a/2,b);}else if(a%2!=0&&b%2!=0){return gcd3((a-b)/2,b);}
}

这是我第一次写博客啦，纪念一下，哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
2019.3.25晚

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