数学建模-火箭发射问题

本篇文章讨论的是对火箭问题的建模。

火箭问题的提出
卫星的速度
火箭的推力
火箭系统的质量
多级火箭的速度公式

火箭问题的提出

假如要向地球轨道内发生一颗火箭，火箭在上升过程中，因为动力不足，通过会分成多级火箭，在发生到一定程度时，在半空中点燃第二级火箭，给火箭继续提供动力到达绕地球的轨道内，使得在轨道内，卫星能在地球的引力作用下，环绕地球旋转。

那火箭在到达地球之后应该以什么速度运动，才能刚好在不脱离地球的同时，也不坠落，能在轨道上持续运动呢？这是火箭发射的主要研究问题。为了解答这一问题，我们必须对该问题建模，既然要夹馍，肯定需要找出这个过程的主要因素是什么？我们发现主要的因素是火箭到达特定轨道时的运动速度是多少？而速度是通过加速度起作用的，由力与加速度的关系公式：

F=m a

F = m\ a我们发现如果要让火箭获得较大的速度，必须让火箭具有较大的力和较小的质量，从中，我们可以确定整个建模的过程中需要讨论的四个主要因素：

卫星的速度
火箭的推力
火箭与卫星的质量
最佳的级数

一般火箭要经过多级加速的。
这就是我们接下来要讨论的主要问题。

卫星的速度

牛顿法开普勒三大定律之上，建立起了两个物体之间的万有引力定律：宇宙万物之间都存在着相互吸引的引力，它的作用方向在两个物体的连线上，它的大小与两者质量的乘积成正比，而与两者距离的平方成反比，且比例系数是一个对万物都相同的宇宙常数。用公式表示为：

G=γMmr2

G = \gamma \frac{Mm}{r^2} γ\gamma表示万有引力常数，M表示地球的质量,m表示卫星的质量，r表示卫星到地球中心的距离。

假设k=γM,kk = \gamma M,k表示地球引力常数，万有引力公式可以表示为

G=kmr2

G = k\frac{m}{r^2}又已知地球表面的重力加速度为g,根据牛顿第二定律有：

kmR2=mg

k\frac{m}{R^2} = mg可以得到地球引力常数为：

k=R2g

k =R^2 g当卫星绕地球做匀速圆周运动是，卫星没有切向的加速度，卫星的法向加速度为 v2r\frac{v^2}{r},由万有引力定律可得：

mv2r=mg(Rr)2

m\frac{v^2}{r} = mg (\frac{R}{r})^2左边为转动惯性力，使得卫星在地球轨道上运动而不掉下来，对该式子求解可以得到：

v=Rgr‾‾√

v = R\sqrt{\frac{g}{r}}这就是卫星绕地球旋转应该由的速度。那么火箭的速度也应该达到这个速度，计算可得：

v=Rg=7.9 km/s

v = \frac{R}{g} = 7.9 \ km/s这是我们解决的第一个问题，火箭的速度。

火箭的推力

我们把火箭抽象成仅由一个动力系统和动力舱组成的物体，采用微元法，根据质量守恒和动量守恒，考察火箭在[t,t+∇t][t,t+\nabla t]时刻的动量变化，t时刻火箭系统的动量就是m(t)v(t)m(t)v(t),在t+∇tt+\nabla t时刻，动量分为两个部分，一部分表示火箭的动量

m(t+∇t)v(t+∇t)

m(t+\nabla t)v(t+\nabla t)另一部分表示火箭产生的气体的动量

(m(t)−m(t+∇t))(v(t)−u)

(m(t)- m(t+\nabla t))(v(t)-u)式中u表示气体相对于火箭的速度，而 v(t)v(t)表示火箭相对于地球的速度，因为气体相对于火箭的速度和火箭相对于地球的速度大小相等，方向相反，故气体相对于地球的速度就为 v(t)−uv(t)-u.因此，根据动量守恒定律有：

m(t)v(t)=m(t+∇t)v(t+∇t)−(m(t+∇t)−m(t))(v(t)−u)

m(t)v(t)=m(t+\nabla t)v(t+\nabla t) - (m(t+\nabla t)-m(t))(v(t)-u)将方程化简为：

lim∇t→0m(t+∇t)v(t+∇t)−m(t)v(t)∇t=lim∇t→0(m(t+∇t)−m(t))(v(t)−u)∇t

\lim_{\nabla t \rightarrow 0}\frac{m(t+\nabla t)v(t+\nabla t)-m(t)v(t)}{\nabla t} = \lim _{\nabla t \rightarrow 0} \frac{(m(t+\nabla t)-m(t))(v(t)-u)}{\nabla t }即表示如下微分方程：

d(m(t)v(t))dt=dm(t)dt(v(t)−u)

\frac{d(m(t)v(t))}{dt} = \frac{dm(t)}{dt}(v(t)-u)将左边乘积的导数化简，可以得到这样一个常微分方程：

m(t)dv(t)dt=−um(t)dt

m(t)\frac{dv(t)}{dt} = -u\frac{m(t)}{dt}使用分离变量法，可以求得

v(t)=v0+u Inm0m(t)

v(t)= v_0 + u\ In\frac{m_0}{m(t)}
m0m_0表示火箭的初速度，一开始为静止状态，故为零。

火箭系统的质量

考虑火箭的质量，主要包含三个部分，火箭的有效载荷，用mpm_p表示，火箭的结构质量，用msm_s表示；以及火箭所装载的燃料的质量，用mfm_f表示，火箭的初始质量可以表示为:

m0=mp+ms+mf

m_0 = m_p + m_s + m_f但我们真正关心的是火箭到达轨道附近，换句话说，就是火箭燃烧完之后的质量是多少，以及对应的速度是多少，由前文质量火箭的速度可以由公式得到：

v=u Inm0mp+ms

v = u \ In \frac{m_0}{m_p + m_s}为了求解方便，我们再定义一个量-结构比： λ=msms+mf\lambda = \frac{m_s}{m_s + m_f},因此有：如果结构比足够小，或者气体的速度足够大，都能达到卫星在地球轨道上运行的速度，但这些条件都不是想要多少就有多少的，很多都受限于当时的技术水平，目前的水平来看，气体的速度可以为： u=3 km/s,λ=0.1u = 3 \ km/s,\lambda = 0.1,y因此一般

v<=3 In10=7 km/s

v 因此，如果使用一级火箭，在现有的技术水平下，发射火箭的速度无法达到7.9。

多级火箭的速度公式

由牛顿第二定律：

F=m a

F = m \ a我们知道，如果要让火箭获得gendarme的速度，可以增加加速度，但推力室一定的，所以减少火箭的质量，就变成了一个唯一可行的方案了。我们可以设想出多级火箭，在某一级火箭的燃料耗尽后，发射第二级火箭，同时去掉一部分外壳，使得质量有所下降。

因此，仍然假设结构比为λ，\lambda，共有n级火箭，各级火箭的结构质量和对应的燃料质量总和分别为m1,m2,⋯,mnm_1,m_2,\cdots,m_n,所以第i级火箭的结构质量为λmi,\lambda m_i,地i级火箭的燃料质量为(1−λ)mi(1-\lambda)m_i.m0=mp+m1+m2+⋯+mn.m_0 = m_p + m_1 + m_2 + \cdots + m_n.

当第一级火箭燃尽时，由于初始速度为0，因此当第一级火箭燃尽时的速度为

v1=u Inm0mp+λm1+m2+⋯+mn

v_1 = u \ In \frac{m_0}{m_p + \lambda m_1 + m_2 + \cdots + m_n},将第一级火箭的接哦股丢弃，仍然用前面的公式，但这时候的初始速度不为零，而是第一级火箭燃尽时的速度作为初速度。而且，当第二级火箭燃料燃尽时，它的质量为 m+p+m2+m3+⋯+mnm+p+ m_2+ m_3+ \cdots + m_n,由此类推，可以得到当第i级火箭燃尽时的速度为：

vi=vi−1+u∗In mp+mi+⋯+mnmp+λmi+mi+1+⋯+mn

v_i = v_{i-1} +u* In \ \frac{m_p + m_i + \cdots + m_n}{m_p + \lambda m_i + m_{i+1} + \cdots + m_n} 由此可以得到火箭的最终速度为：

v=u In(m0mp+λm1+m2+⋯+mn∗⋯∗mp+mnmp+λmn)

v = u \ In( \frac{m_0}{m_p + \lambda m_1 + m_2 + \cdots + m_n}*\cdots*\frac{m_p + m_n}{m_p + \lambda m_n})

总结

数学建模的关键在于精确得确定问题，并找出影响结果的主要因素是什么。今儿一步一步的分析这些因素。