信号与系统——阶跃信号与冲激信号

我们在学习阶跃信号与冲激信号之前，我们首先要知道什么是奇异信号？

什么是奇异信号？

解释：函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。而我们下面所要介绍的单位斜变信号、单位冲激信号、单位阶跃信号、冲击偶信号都属于奇异信号。

什么是单位斜变信号？

解释：斜变信号又称为斜坡信号或斜升信号。这是指从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。如果增长的变化率是 1 ，就称为单位斜变信号。

其表达式为： $R(t) = \left\{\begin{matrix} 0 & t<0 \\ t& t\geqslant 0 \end{matrix}\right.$ ，波形为：

当信号 R(t) 延迟 t0 个单位时，我们可以得出下图所示的波形，在这里我们对信号的移位不称为移位，称为信号延迟了 t0 个单位。

则延迟的信号表达式为： $R(t-t_{0}) = \left\{\begin{matrix} 0 & t<t_{0} \\ t-t_{0}& t\geqslant t_{0} \end{matrix}\right.$ ，波形为：

什么是单位阶跃信号？

解释：单位阶跃信号的表达式为： $u(t)=\left\{\begin{matrix} 0 &(t<0) \\ 1 & (t>0) \end{matrix}\right.$ ，对于在跳变点 t=0 处而言，函数值未定义，或在 t=0 处规定函数值为 u(0) = 1/2 。

其波形如下图所示：

当信号 u(t) 延迟 t0 个单位时，我们可以得出下图所示的波形，其延迟之后的表达式为 $u(t-t_{0}) = \left\{\begin{matrix} 0 & t<t_{0} \\ 1& t > t_{0} \end{matrix}\right.$ ， t0>0 :

我们在该们课中，也会经常见到另一种用阶跃信号所构成的信号，其被称为门函数，又被称为矩形窗函数。其表达式为：

其波形为：

单位阶跃信号还被用来表示另外一种函数，被称为符号函数，写作 sgn(t) 定义如下所示： $sgn(t) = \left\{\begin{matrix} 1 & t>0 \\ -1& t < 0 \end{matrix}\right.$ ，

符号函数又可以被阶跃函数来表示： $sgn(t) = 2u(t) - 1$

什么是单位冲激信号？

解释：冲激函数可由不同的方式来定义，它是一个“面积”等于1的理想化了的窄脉冲。也就是说，这个脉冲的幅度等于它的宽度的倒数。当这个脉冲的宽度愈来愈小时，它的幅度就愈来愈大。当它的宽度按照数学上极限法则趋近于零时，那么它的幅度就趋近于无限大，这样的一个脉冲就是“单位冲激函数”。在实际工程中，像“单位冲激函数”这样的信号是不存在的，至多也就是近似而已。

我们通过对矩形脉冲信号推导可以得到冲激信号。设矩形脉冲信号的表达式为：

其波形为：

当我们将 $\tau \rightarrow 0$ 时，保持其面积为 1 ，则脉宽将降低，脉冲高度将趋于无穷大，此极限情况即为单位冲激函数。

则其表达式可以表示为：

波形图为：

对于冲激函数而言，只有在 t=0 点有一“冲激”，在 t=0 点以外各处，函数值都是零。

上面是由矩形脉冲函数来对冲激函数进行定义的，也可以用另外的函数来进行定义，下面是所用的函数对冲激函数进行定义：

但是对于抽样信号而言，当 K 越大时，函数的振幅也就越大，且离开原点时函数振荡越快，衰减越迅速。

下面分别表示了各个脉冲信号演变为冲激函数：

当然，还有一种是狄拉克函数对冲激函数定义：

冲激函数为偶函数。

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