一问题提出

1 胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)，现在需要修路把7个村庄连通。

2 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里。

问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

思路

错误思路：将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小。

正确思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少。

二最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

1 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树。

2 该树有N个顶点，则一定有N-1条边。

3 该树包含全部顶点。

4 N-1条边都在图中。

5 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

最小生成树的图示如下

三普里姆算法

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。

算法如下。

1 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合。

2 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1

3 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1

4 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边。

四实战

1 要求

用代码实现开篇提出的修路问题。

2 代码

import java.util.Arrays;/**
* @className: PrimAlgorithm
* @description: 普里姆算法
* @date: 2021/3/31
* @author: cakin
*/
public class PrimAlgorithm {/*** 功能描述：普里姆算法测试** @param args 命令行* @return* @author cakin* @date 2021/3/31*/public static void main(String[] args) {// 图的顶点char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};// 顶点的个数int verxs = data.length;// 邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通int[][] weight = new int[][]{{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};// 创建 MGraph 对象MGraph graph = new MGraph(verxs);// 创建 MinTree 对象MinTree minTree = new MinTree();minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);// 输出图minTree.showGraph(graph);// 普利姆算法minTree.prim(graph, 1);//}
}/**
* @className: PrimAlgorithm
* @description: 最小生成树
* @date: 2021/3/31
* @author: cakin
*/
class MinTree {/*** 功能描述：图的邻接矩阵** @param graph  图对象* @param verxs  图对应的顶点个数* @param data   图的各个顶点的值* @param weight 图的邻接矩阵*/public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {int i, j;for (i = 0; i < verxs; i++) {//顶点graph.data[i] = data[i];for (j = 0; j < verxs; j++) {graph.weight[i][j] = weight[i][j];}}}/*** 功能描述：显示图的邻接矩阵** @param graph 图* @author 贝医* @date 2021/3/31*/public void showGraph(MGraph graph) {for (int[] link : graph.weight) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}/*** 功能描述：prim算法，得到最小生成树** @param graph 图* @param v     表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...*/public void prim(MGraph graph, int v) {// 标记结点(顶点)是否被访问过int visited[] = new int[graph.verxs];// 把当前这个结点标记为已访问，0表示没有访问过visited[v] = 1;// h1 和 h2 记录两个顶点的下标int h1 = -1;int h2 = -1;int minWeight = 10000; // 将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { // 因为有 graph.verxs 个顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1 边// 这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i结点表示被访问过的结点for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j结点表示还没有访问过的结点// 寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {// 替换minWeightminWeight = graph.weight[i][j];h1 = i;h2 = j;}}}// 找到一条边是最小System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);// 将当前这个结点标记为已经访问visited[h2] = 1;// minWeight 重新设置为最大值 10000minWeight = 10000;}}
}/**
* @className: PrimAlgorithm
* @description: 图
* @date: 2021/3/31
* @author: cakin
*/
class MGraph {// 表示图的顶点个数int verxs;// 存储结点数据char[] data;// 存放边，也就是邻接矩阵int[][] weight;public MGraph(int verxs) {this.verxs = verxs;data = new char[verxs];weight = new int[verxs][verxs];}
}

3 测试

[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2]
[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]
边<B,G> 权值:3
边<G,A> 权值:2
边<G,E> 权值:4
边<E,F> 权值:5
边<F,D> 权值:4
边<A,C> 权值:7

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