文章目录

任务详解：
1.期望与方差
- 期望
- - 1、均匀分布：
  - 2、指数分布
  - 3、搞屎分布
  - 1.0-1分布
  - 2.伯努利（二项）分布
  - 3.泊松分布
- 期望的性质
- 方差
- - 方差的公式
  - 常见分布的方差
  - 方差的常用性质
2.协方差
- 相关系数
- 协方差矩阵
- - n维正态随机变量的概率密度

本课程来自深度之眼，部分截图来自课程视频。
【第三章概率论】3.3期望与方差
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任务详解：

这节课主要介绍了期望与方差，协方差，矩估计等知识点。
掌握目标：
1、掌握期望和方差的意义，以及常用离散或连续分布期望方差的计算
2、掌握期望和方差的性质
3、掌握协方差，相关系数，协方差矩阵

1.期望与方差

期望

连续型（求积分）：
E(X)=∫−∞+∞xf(x)dxE(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dxE(X)=∫−∞+∞xf(x)dx
离散型（求和）：
E(X)=∑k=1∞xkpkE(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_kE(X)=k=1∑∞xkpk
下面来看几个典型密度函数的期望：

1、均匀分布：

f(x)={1b−a,a<x<b0,其他f(x)=\begin{cases}\cfrac{1}{b-a},a<x<b\\0,\quad 其他\end{cases}f(x)=⎩⎨⎧b−a1,a<x<b0,其他
∫ab1b−axdx=1b−a12x2∣ab=1b−a12(b2−a2)=a+b2\int_a^b\frac{1}{b-a}xdx=\frac{1}{b-a}\frac{1}{2}x^2\bigg |_a^b=\frac{1}{b-a}\frac{1}{2}(b^2-a^2)=\frac{a+b}{2}∫abb−a1xdx=b−a121x2∣∣∣∣ab=b−a121(b2−a2)=2a+b

2、指数分布

f(x)={1θe−x/θ0,其他f(x)=\begin{cases}\cfrac{1}{\theta}e^{-x/\theta}\\0,\quad 其他\end{cases}f(x)=⎩⎨⎧θ1e−x/θ0,其他
∫0+∞1θe−x/θ⋅xdx\int_0^{+\infty}\cfrac{1}{\theta}e^{-x/\theta}\cdot xdx∫0+∞θ1e−x/θ⋅xdx
用换元法：
=−∫0+∞xde−x/θ=-\int_0^{+\infty}xde^{-x/\theta}=−∫0+∞xde−x/θ
用分部积分：
−[e−x/θx∣0+∞−∫0+∞e−x/θdx]-[e^{-x/\theta}x\bigg |_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}e^{-x/\theta}dx]−[e−x/θx∣∣∣∣0+∞−∫0+∞e−x/θdx]
第一项根据洛必达法则等于0，则第二项：
=∫0+∞e−x/θdx=(−θe−x/θ)0+∞=0−(−θe0)=θ=\int_0^{+\infty}e^{-x/\theta}dx=(-\theta e^{-x/\theta})_0^{+\infty}=0-(-\theta e^0)=\theta=∫0+∞e−x/θdx=(−θe−x/θ)0+∞=0−(−θe0)=θ

3、搞屎分布

f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,−∞<x<∞f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<\inftyf(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2,−∞<x<∞
期望为μ\muμ
下面看几个离散函数的期望：

1.0-1分布

X	0	1
pk	1-p	p

根据定义求期望：：
E(X)=∑k=1∞xkpk=0(1−p)+1×p=pE(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k=0(1-p)+1×p=pE(X)=k=1∑∞xkpk=0(1−p)+1×p=p

2.伯努利（二项）分布

P{X=k}=(nk)pkqn−k,k=0,1,2,⋯,nP\{X=k\}=\binom{n}{k}p^kq^{n-k},k=0,1,2,\cdots,nP{X=k}=(kn)pkqn−k,k=0,1,2,⋯,n
根据定义求期望：
E(X)=∑k=0nxkpk=k(nk)pkqn−kE(X)=\sum_{k=0}^{n}x_kp_k=k\binom{n}{k}p^kq^{n-k}E(X)=k=0∑nxkpk=k(kn)pkqn−k
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二项分布的(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\cfrac{n!}{k!(n-k)!}(kn)=k!(n−k)!n!
k(nk)=kn!k!(n−k)!=n(n−1)!(k−1)!(n−k)!=n(n−1k−1)k\binom{n}{k}=k\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=n\binom{n-1}{k-1}k(kn)=kk!(n−k)!n!=(k−1)!(n−k)!n(n−1)!=n(k−1n−1)
---------------------------------------------------------割你没商量1------------------------------------------------------
E(X)=∑k=1nn(n−1k−1)ppk−1qn−k=np∑k=1n(n−1k−1)pk−1qn−kE(X)=\sum_{k=1}^{n}n\binom{n-1}{k-1}pp^{k-1}q^{n-k}=np\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}p^{k-1}q^{n-k}E(X)=k=1∑nn(k−1n−1)ppk−1qn−k=npk=1∑n(k−1n−1)pk−1qn−k
令kˉ=k−1\bar{k}=k-1kˉ=k−1，则有：
E(X)=np∑kˉ=0n−1(n−1kˉ)pkˉq(n−1)−kˉE(X)=np\sum_{\bar{k}=0}^{n-1}\binom{n-1}{\bar{k}}p^{\bar{k}}q^{(n-1)-\bar{k}}E(X)=npkˉ=0∑n−1(kˉn−1)pkˉq(n−1)−kˉ
用什么符号来表示公式中的变量是无所谓的，把kˉ\bar{k}kˉ换成k
E(X)=np∑k=0n−1(n−1k)pkq(n−1)−kE(X)=np\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}p^{k}q^{(n-1)-k}E(X)=npk=0∑n−1(kn−1)pkq(n−1)−k
求和部分实际上是(p+q)n−1(p+q)^{n-1}(p+q)n−1的二项式展开，且p+q=1，故：
E(X)=np(p+q)n−1=npE(X)=np(p+q)^{n-1}=npE(X)=np(p+q)n−1=np

3.泊松分布

P{X=k}=λke−λk!,k=0,1,2,⋯,λ>0P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots,\lambda>0P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,⋯,λ>0
根据定义求期望：
E(X)=∑k=0+∞xkpk=∑k=0+∞kλke−λk!E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}x_kp_k=\sum_{k=0}^{+\infty}k\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}E(X)=k=0∑+∞xkpk=k=0∑+∞kk!λke−λ
由于k=0这项是0，所以从1开始算：
E(X)=∑k=1+∞λke−λ(k−1)!E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{(k-1)!}E(X)=k=1∑+∞(k−1)!λke−λ
令kˉ=k−1\bar{k}=k-1kˉ=k−1，则有：
E(X)=∑kˉ=0+∞λkˉ+1e−λkˉ!=λ∑kˉ=0+∞λkˉe−λkˉ!E(X)=\sum_{\bar{k}=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{\bar{k}+1}e^{-\lambda}}{\bar{k}!}=\lambda\sum_{\bar{k}=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{\bar{k}}e^{-\lambda}}{\bar{k}!}E(X)=kˉ=0∑+∞kˉ!λkˉ+1e−λ=λkˉ=0∑+∞kˉ!λkˉe−λ
用什么符号来表示公式中的变量是无所谓的，把kˉ\bar{k}kˉ换成k
E(X)=λ∑k=0+∞λke−λk!E(X)=\lambda\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}E(X)=λk=0∑+∞k!λke−λ
求和部分根据上一节的泊松分布可知，是等于1的。
E(X)=λE(X)=\lambdaE(X)=λ

期望的性质

1°设CCC是常数，则有E(C)=CE(C)=CE(C)=C.
2°设XXX是一个随机变量，CCC是常数，则有
E(CX)=CE(X)E(CX)=CE(X)E(CX)=CE(X).
3°设X，YX，YX，Y是两个随机变量，则有
E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y).
这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况.
4°设X，YX，YX，Y是相互独立的随机变量，则有
E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y).
这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况.

方差

方差的公式

说人话：每一个样本到期望的距离的平方
E{[X−E(X)]2}E\{[X-E(X)]^2\}E{[X−E(X)]2}
来度量随机变量X与其均值E(X)E(X)E(X)的偏离程度.
定义设XXX是一个随机恋量，若E{[X−E(X)]2}E\{[X-E(X)]^2\}E{[X−E(X)]2}在在，则称E{[X−E(X)]2}E\{[X-E(X)]^2\}E{[X−E(X)]2}为XXX的方差，记为D(X)D(X)D(X)或Var(X)Var(X)Var(X)，即
D(X)=Var(X)=E{[X−E(X)]2}D(X)=Var(X)=E\{[X-E(X)]^2\}D(X)=Var(X)=E{[X−E(X)]2}
在应用上还引入量sqrtD(X)=sqrt{D(X)=}sqrtD(X)=，记为σ(X)\sigma(X)σ(X)，称为标准差或均方差。
对于离散变量，方差计算公式为：
D(X)=∑k=1∞[xk−E(X)]2pkD(X)=\sum_{k=1}^\infty[x_k-E(X)]^2p_kD(X)=k=1∑∞[xk−E(X)]2pk
如果把∑k=1∞[xk−E(X)]2\sum_{k=1}^\infty[x_k-E(X)]^2∑k=1∞[xk−E(X)]2看做一个随机变量，则D(X)D(X)D(X)实际上可以看做是求期望。
对于连续变量，方差计算公式为：
D(X)=∫−∞+∞[xk−E(X)]2f(x)dxD(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x_k-E(X)]^2f(x)dxD(X)=∫−∞+∞[xk−E(X)]2f(x)dx
看方差公式可以知道，欲求方差先求期望，貌似好麻烦，来看看怎么简化：
D(X)=E{[X−E(X)]2}=E{X2−2XE(X)+[E(X)]2}D(X)=E\{[X-E(X)]^2\}=E\{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2\}D(X)=E{[X−E(X)]2}=E{X2−2XE(X)+[E(X)]2}
根据期望的性质：
D(X)=E(X2)−2E(XE(X))+E([E(X)]2)D(X)=E(X^2)-2E(XE(X))+E([E(X)]^2)D(X)=E(X2)−2E(XE(X))+E([E(X)]2)
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2E(XE(X))2E(XE(X))2E(XE(X))中E(X)E(X)E(X)是一个常数，所以根据期望的性质3°可以放到外面：2E(X)E(X)2E(X)E(X)2E(X)E(X)
E([E(X)]2)E([E(X)]^2)E([E(X)]2)中E(X)E(X)E(X)是一个常数，常数的期望就是它自己：[E(X)]2[E(X)]^2[E(X)]2
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D(X)=E(X2)−2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)−2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2\begin{aligned}D(X)=&E(X^2)-2E(X)E(X)+[E(X)]^2\\ =&E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2\\ =&E(X^2)-[E(X)]^2\end{aligned}D(X)===E(X2)−2E(X)E(X)+[E(X)]2E(X2)−2[E(X)]2+[E(X)]2E(X2)−[E(X)]2

常见分布的方差

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例3泊松分布设随机变量X∼π(λ)X\sim\pi(\lambda)X∼π(λ)，求D(X)D(X)D(X).
解随机变量X的分布律为
P{X=k}=λke−λk!,k=0,1,2,⋯,λ>0P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots,\lambda>0P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,⋯,λ>0
这个是泊松分布，上面算过，其E(X)=λE(X)=\lambdaE(X)=λ，而
E(X2)=∑k=0∞k2λke−λk!=∑k=1∞kλke−λ(k−1)!=∑k=1∞(k−1+1)λke−λ(k−1)!=∑k=1∞(k−1)λke−λ(k−1)!+∑k=1∞λke−λ(k−1)!\begin{aligned}E(X^2)=&\sum_{k=0}^\infty k^2\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=1}^\infty k\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{(k-1)!}\\ =&\sum_{k=1}^\infty (k-1+1)\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{(k-1)!}\\ =&\sum_{k=1}^\infty (k-1)\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{(k-1)!}+\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{(k-1)!} \end{aligned}E(X2)===k=0∑∞k2k!λke−λ=k=1∑∞k(k−1)!λke−λk=1∑∞(k−1+1)(k−1)!λke−λk=1∑∞(k−1)(k−1)!λke−λ+k=1∑∞(k−1)!λke−λ
后面一项把一个λ\lambdaλ提出来，e−λe^{-\lambda}e−λ和k无关，也可以提出来，然后根据泊松分布计算过的，最后等于λ\lambdaλ：
∑k=1∞λke−λ(k−1)!=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!=λ\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{(k-1)!}=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambdak=1∑∞(k−1)!λke−λ=λe−λk=1∑∞(k−1)!λk−1=λ
前面一项，可以把(k-1)约掉一项，然后变成：
∑k=1∞(k−1)λke−λ(k−1)!=∑k=2∞λke−λ(k−2)!\sum_{k=1}^\infty (k-1)\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{(k-1)!}=\sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{(k-2)!}k=1∑∞(k−1)(k−1)!λke−λ=k=2∑∞(k−2)!λke−λ
把一个λ2\lambda^2λ2提出来，e−λe^{-\lambda}e−λ和k无关，也可以提出来：
=λ2e−λ∑k=2∞λk−2(k−2)!=\lambda^2e^{-\lambda}\sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}=λ2e−λk=2∑∞(k−2)!λk−2
令kˉ=k−2\bar{k}=k-2kˉ=k−2：
=λ2e−λ∑kˉ=0∞λkˉkˉ!=λ2e−λeλ=λ2=\lambda^2e^{-\lambda}\sum_{\bar{k}=0}^\infty \frac{\lambda^{\bar{k}}}{\bar{k}!}=\lambda^2e^{-\lambda}e^{\lambda}=\lambda^2=λ2e−λkˉ=0∑∞kˉ!λkˉ=λ2e−λeλ=λ2
所以：
E(X2)=λ2+λE(X^2)=\lambda^2+\lambdaE(X2)=λ2+λ
所以，方差：
D(X)=E(X2)−[E(X)]2=λ2+λ−(λ)2=λD(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\lambda^2+\lambda-(\lambda)^2=\lambdaD(X)=E(X2)−[E(X)]2=λ2+λ−(λ)2=λ

例4均匀分布：设随机变量X∼U(a,b)X\sim U(a,b)X∼U(a,b)，求D(X)D(X)D(X).
f(x)={1b−a,a<x<b0,其他f(x)=\begin{cases}\cfrac{1}{b-a},a<x<b\\0,\quad 其他\end{cases}f(x)=⎩⎨⎧b−a1,a<x<b0,其他
均匀分布的期望已经算出来过了：
E(X)=a+b2E(X)=\frac{a+b}{2}E(X)=2a+b
方差：
D(X)=E(X2)−[E(X)]2=∫abx21b−adx−(a+b2)2=(b−a)212D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\int_a^bx^2\frac{1}{b-a}dx-(\frac{a+b}{2})^2=\frac{(b-a)^2}{12}D(X)=E(X2)−[E(X)]2=∫abx2b−a1dx−(2a+b)2=12(b−a)2

指数分布的例子：

搞屎分布的方差是σ2\sigma^2σ2
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方差的常用性质

1°设CCC是常数，则D(C)=0D(C)=0D(C)=0.
2°设XXX是随机变量，CCC是常数，则有
D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)D(CX)=C^2D(X)，D(X+C)=D(X)D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)
3°设X，YX，YX，Y是两个随机变量，则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X−E(X))(Y−E(Y))}.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\}.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X−E(X))(Y−E(Y))}.
特别，若X，YX，YX，Y相互独立，则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y).D(X+Y)=D(X)+D(Y).D(X+Y)=D(X)+D(Y).
这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.
4°D(X)=0D(X)=0D(X)=0的充要条件是XXX以概率1取常数E(X)E(X)E(X)，即
P{X=E(X)}=1.P\{X=E(X)\}=1.P{X=E(X)}=1.

2.协方差

如果两个随机变量X和Y是相互独立的，则
E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=0E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0
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证明：
E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=E{XY−XE(Y)−YE(X)+E(X)E(Y)}=E(XY)−E(X)E(Y)−E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\begin{aligned}&E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}\\ =&E\{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)\}\\ =&E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)\\ =&E(XY)-E(X)E(Y) \end{aligned} ===E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}E{XY−XE(Y)−YE(X)+E(X)E(Y)}E(XY)−E(X)E(Y)−E(Y)E(X)+E(X)E(Y)E(XY)−E(X)E(Y)
若X和Y是相互独立的，E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)，E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=0E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0得证。
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当E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}≠0E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}\neq0E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0时，X和Y不相互独立，而是存在一定关系。
定义：E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=0E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0称为随机变量X和Y的协方差，记为：Cov(X,Y)Cov(X,Y)Cov(X,Y)，即：
Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}Cov(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}
协方差常用公式：
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(X,X)=D(X).Cov(Y,Y)=D(Y)Cov(X,X)=D(X).Cov(Y,Y)=D(Y)Cov(X,X)=D(X).Cov(Y,Y)=D(Y)
Cov(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)
协方差常见性质：
1°Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，a，b是常数
2°Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

协方差矩阵

二维随机变量(X1,X2)(X_1,X_2)(X1,X2)有四个二阶中心矩（设它们都存在），分别记为
c11=E{[X1−E(X1)]2}c12=E{[X1−E(X1)][X2−E(X2)]}c21=E{[X2−E(X2)][X1−E(X1)]}c22=E{[X2−E(X2)]2}\begin{aligned}c_{11}=&E\{[X_1-E(X_1)]^2\}\\ c_{12}=&E\{[X_1-E(X_1)][X_2-E(X_2)]\}\\ c_{21}=&E\{[X_2-E(X_2)][X_1-E(X_1)]\}\\ c_{22}=&E\{[X_2-E(X_2)]^2\} \end{aligned} c11=c12=c21=c22=E{[X1−E(X1)]2}E{[X1−E(X1)][X2−E(X2)]}E{[X2−E(X2)][X1−E(X1)]}E{[X2−E(X2)]2}
c11,c22c_{11},c_{22}c11,c22分别是X1,X2X_1,X_2X1,X2的方差，c12=c21c_{12}=c_{21}c12=c21是X1,X2X_1,X_2X1,X2的协方差
将它们排成矩阵的形式：
[c11c12c21c22]\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} \\ c_{21}& c_{22} \end{bmatrix}[c11c21c12c22]
这个矩阵称为随机变量(X1,X2)(X_1,X_2)(X1,X2)的协方差矩阵
设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)(X_1,X_2,…,X_n)(X1,X2,…,Xn)的二阶混合中心矩
cij=Cov(Xi,Xj)=E{[Xi−E(Xi)][Xj−E(Xj)]},i,j=1,2,...,nc_{ij}=Cov(X_i,X_j)=E\{[X_i-E(X_i)][X_j-E(X_j)]\},i,j=1,2,...,ncij=Cov(Xi,Xj)=E{[Xi−E(Xi)][Xj−E(Xj)]},i,j=1,2,...,n
都存在，则称矩阵：
C=[c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋮⋮⋮cn1cn2⋯cnn]n×nC=\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots &c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ c_{n1} &c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix}_{n×n}C=⎣⎢⎢⎢⎡c11c21⋮cn1c12c22⋮cn2⋯⋯⋯c1nc2n⋮cnn⎦⎥⎥⎥⎤n×n
为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)(X_1,X_2,…,X_n)(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵，由于cij=cji,i≠j,i,j=1,2,...,nc_{ij}=c_{ji},i\neq j,i,j=1,2,...,ncij=cji,i=j,i,j=1,2,...,n，因此矩阵C是一个对称矩阵。

n维正态随机变量的概率密度

引入列矩阵
X=[x1x2⋮xn]X=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}X=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤
μ=[μ1μ2⋮μn]=[E(X1)E(X2)⋮E(Xn)]\mu=\begin{bmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} E(X_1) \\ E(X_2) \\ \vdots \\ E(X_n) \end{bmatrix}μ=⎣⎢⎢⎢⎡μ1μ2⋮μn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡E(X1)E(X2)⋮E(Xn)⎦⎥⎥⎥⎤
n维正态随机变量(X1,X2,…,Xn)(X_1,X_2,…,X_n)(X1,X2,…,Xn)的概率密度定义为：

其中C为(X1,X2,…,Xn)(X_1,X_2,…,X_n)(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵。

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