概率论-2.3 随机变量的方差与标准差(重点:(X-E(X))^2的期望)

方差：描绘随机变量X的波动程度(一种特殊的期望)
定义：D(X)=E((X-E(X))^2)，记作Var(X)
离散：Sum(((xi-E(X))^2p(xi))
连续：积分(X-E(X))^2p(x)dx(负无穷->正无穷)
标准差：德尔塔(x)=sqrt(Var(X))（统一量纲）
随机变量期望存在，方差不一定存在，方差存在期望一定存在(待证明)
方差的性质：
常数的方差为0
D(X)=E(X ^ 2)-(E(X)) ^ 2
Var(aX+b)=a^2*Var(X)（由此看出方差体现的是绝对波动）

切比雪夫不等式：
设随机变量X的期望和方差都存在
对任意常数c都有P(|X-E(X)| >= c)<=Var(X)/c^2或P(|X-E(X)| < c)>1-Var(X)/c^2
证明
P(|X-E(X)| >= c)= 积分P(x)dx 在|x-E(X)| >= c范围
|x-E(X)| >= c，则有|x-E(X)|^2 / c^2 >= 1
于是有积分P(x)dx 在|x-E(X)| >= c范围<= 积分|x-E(X)|^2 / c^2 *P(x)dx 在|x-E(X)| >= c范围= 1/ c^2 (积分|x-E(X)|^2 *P(x)dx 在|x-E(X)| >= c范围)=(1 / c^2)*Var(X)

若随机变量方差存在，则Var(X)=0的充要条件为P(X=a)=1，a为一常数
充分性显然，下面证明必要性
证法一
方差存在，则期望存在
Var(X)= 积分(X-E(X))^2*p(x)dx(负无穷->正无穷) =0
积分项大于等于0恒成立，积分结果为0，推出每一积分项为0，由因为p(x)不恒为0，则推出(X-E(X))=0恒成立
证法二

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