C++实现前向欧拉法Forward Euler解决偏微分方程

1. 数学原理

以简单的热方程为例，其中D为常数：

根据导数的定义式有：

如果我们将x理解成delta_x*n，则u(x,t)可以看成只是t的函数，n作为参数来控制x，即定义：

这样我们就可以把这个偏微分方程看做是一个常微分方程

对于常微分方程的C++实现，可以先看看https://blog.csdn.net/weixin_39374967/article/details/105333880

二、C++实现

如下代码中，新建了一个叫solutionDirichletProblem.csv的文件记录偏微分方程的计算结果；

初始条件是

#define _USE_MATH_DEFINES
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>// 设置左右边界条件
double DirichletBCLeft(double t)
{return 0.0;
}
double DirichletBCRight(double t)
{return 0.0;
}// 新建一个文件，记录时间和函数值
void AddCurrentStateToOpenStream(double currentTime, const std::vector<double>& currentFunctionValue)
{std::ofstream fileOutput("solutionDirichletProblem.csv", std::ofstream::app);fileOutput << currentTime << " , ";for (int i = 0; i < currentFunctionValue.size() - 1; ++i){fileOutput << currentFunctionValue[i] << " , ";}fileOutput << currentFunctionValue.back() << std::endl;fileOutput.close();
}int main()
{const double finalTime = 0.1;const int numberOfTimeSteps = 10000;const double deltaT = finalTime / numberOfTimeSteps;// x的取值范围是[0,1]const double domainSize = 1.0;const int numberOfSpatialElements = 51;const double deltaX = domainSize / (numberOfSpatialElements - 1);// 初始条件里，开始结尾都是0，中间部分是sin(pi*x)std::vector<double> initialFunctionValue(numberOfSpatialElements, 0.0);initialFunctionValue[0] = DirichletBCLeft(0.0);initialFunctionValue.back() = DirichletBCRight(0.0);for (int i = 1; i < numberOfSpatialElements - 1; ++i){initialFunctionValue[i] = sin(M_PI*i*deltaX);}// initial是t=0时的x序列，previous是t时的x序列，current是t+deltaT的序列std::vector<double> previousFunctionValue = initialFunctionValue;std::vector<double> currentFunctionValue = previousFunctionValue;double currentTime = 0.0;double outputTimesInterval = finalTime / 10;double nextOutputTime = outputTimesInterval;AddCurrentStateToOpenStream(currentTime, previousFunctionValue);while (currentTime < finalTime){previousFunctionValue = currentFunctionValue;for (int i = 1; i < numberOfSpatialElements - 1; ++i){currentFunctionValue[i] += deltaT / deltaX / deltaX * (previousFunctionValue[i + 1] + previousFunctionValue[i - 1] - 2 * previousFunctionValue[i]);}// 更新开头结尾边界条件currentFunctionValue[0] = DirichletBCLeft(currentTime);currentFunctionValue.back() = DirichletBCRight(currentTime);if (currentTime >= nextOutputTime){AddCurrentStateToOpenStream(currentTime, currentFunctionValue);nextOutputTime += outputTimesInterval;}currentTime += deltaT;}return 0;
}

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