洛谷p4230 连环病原体题解

传送门洛谷p4230

题意大概是这样，有m条无向边按输入顺序标号，如果一段区间[l,r][l,r][l,r]上的无向边包含环就称区间[l,r][l,r][l,r]是“加强区间”，求每条边分别在多少个“加强区间”内。

设ans[i]ans[i]ans[i]表示第iii条边在多少个加强区间内。我们可以换个视角：如果我们能找出所有“加强区间”，那么就只要给每个加强区间上的ans" role="presentation" style="position: relative;">ansansans值都增加111就好了。

那么如何找出所有“加强区间”？我们有个老套路：枚举左端点，查询右端点。

然而当左端点固定的时候右端点不止一个，真要把所有加强区间都找出来应该是不现实的（而且应该是O(n2)" role="presentation" style="position: relative;">O(n2)O(n2)O(n^2)的）

但是可以发现一个很好的性质：如果[l,r][l,r][l,r]是加强区间，那么对于所有r≤r′≤mr≤r′≤mr\leq r'\leq m，区间[l,r′][l,r′][l,r']都是加强区间。

于是可以考虑枚举左端点lll，查找最小的右端点r" role="presentation" style="position: relative;">rrr，然后记录答案（一会再讲怎么记录）

但是很显然这个右端点没法很快地找出来，似乎还需要一个性质

我们发现：随着lll的递增，最小的右端点r" role="presentation" style="position: relative;">rrr单调不减。

有了这个性质，我们就可以双指针辣！用lct来加边删边，时间复杂度O(mlogn)O(mlogn)O(mlogn)。

然后来说一说怎么得到答案。每次找到一个加强区间[l,r][l,r][l,r]的时候，意味着[l,r],[l,r+1],[l,r+2],...,[l,m][l,r],[l,r+1],[l,r+2],...,[l,m][l,r], [l,r+1], [l,r+2], ..., [l,m]都是加强区间，因此我们需要给ans[l],ans[l+1],...,ans[r]ans[l],ans[l+1],...,ans[r]ans[l],ans[l+1],...,ans[r]都加上m−r+1m−r+1m-r+1（即首项为m−r+1m−r+1m-r+1，公差为000的等差数列），然后给[r+1,m]" role="presentation" style="position: relative;">[r+1,m][r+1,m][r+1,m]加上一个首项为m−rm−rm-r，公差为−1−1-1的等差数列。

如果把等差数列差分，就会发现区间加等差的操作变成了区间加。线段树？当然不需要。因为如果把差分数列再差分（二阶差分），区间加就变成了单点加。（这里可以自己推一下）最终统计答案的时候可以先求出一阶差分再求出原数列，比较方便了。

~~（感觉话有点多）~~

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <climits>
#include <algorithm>template <typename T> inline void read(T& t) {int f = 0, c = getchar(); t = 0;while (!isdigit(c)) f |= c == '-', c = getchar();while (isdigit(c)) t = t * 10 + c - 48, c = getchar();if (f) t = -t;
}
template <typename T, typename... Args>
inline void read(T& t, Args&... args) {read(t); read(args...);
}#ifdef WIN32
#define LLIO "%I64d"
#else
#define LLIO "%lld"
#endif  // WIN32 long long
#define rep(I, A, B) for (int I = (A); I <= (B); ++I)
#define rrep(I, A, B) for (int I = (A); I >= (B); --I)
#define erep(I, X) for (int I = head[X]; I; I = next[I])const int maxn = 4e5 + 207;
int fa[maxn], ch[maxn][2];
bool rev[maxn];
int m;inline int iden(int x) {if (ch[fa[x]][0] == x) return 0;if (ch[fa[x]][1] == x) return 1;return -1;
}
inline void rotate(int x) {if (!x) return;int d = iden(x), y = fa[x];if (~iden(y)) ch[fa[y]][iden(y)] = x;fa[x] = fa[y];if ((ch[y][d] = ch[x][d ^ 1]))fa[ch[x][d ^ 1]] = y;fa[ch[x][d ^ 1] = y] = x;
}
inline void pushdown(int x) {if (rev[x]) {rev[ch[x][0]] ^= 1;rev[ch[x][1]] ^= 1;rev[x] = 0; std::swap(ch[x][0], ch[x][1]);}
}
int s[maxn];
inline void splay(int x) {int t = 0;for (int i = x; ; i = fa[i]) {s[++t] = i;if (!~iden(i)) break;}while (t) pushdown(s[t--]);while (~iden(x)) {int y = fa[x];if (~iden(y)) rotate(iden(y) ^ iden(x) ? x : y);rotate(x);}
}
inline void access(int x) {for (int y = 0; x; x = fa[y = x])splay(x), ch[x][1] = y;
}
inline void makeroot(int x) {access(x); splay(x); rev[x] ^= 1;
}
inline void link(int x, int y) {makeroot(x); fa[x] = y;
}
inline void cut(int x, int y) {makeroot(x); access(y); splay(y);fa[x] = ch[y][0] = 0;
}
inline int findroot(int x) {access(x); splay(x);while (pushdown(x), ch[x][0]) x = ch[x][0];splay(x);return x;
}
inline bool connected(int x, int y) {return findroot(x) == findroot(y);
}struct Edge {int x, y;
};
Edge e[maxn];
template <> inline void read<Edge>(Edge& ee) {read(ee.x, ee.y);
}long long d2[maxn], d1[maxn], ans[maxn];
inline void add(int l, int r, int a1, int d) {if (l > r) return;d2[l] += a1;d2[l + 1] += d - a1;d2[r + 1] -= a1 + 1ll * (r - l + 1) * d;d2[r + 2] += a1 + 1ll * (r - l) * d;
}int main() {read(m);rep(i, 1, m) read(e[i]);for (int l = 1, r = 0; l <= m; ++l) {bool found = 0;while (r < m) {++r;if (connected(e[r].x, e[r].y)) {found = 1;break;}link(e[r].x, e[r].y);}if (found) {add(l, r, m - r + 1, 0);add(r + 1, m, m - r, -1);--r;} else break;cut(e[l].x, e[l].y);}rep(i, 1, m) d1[i] = d1[i - 1] + d2[i];rep(i, 1, m) ans[i] = ans[i - 1] + d1[i];rep(i, 1, m) printf(LLIO " ", ans[i]);puts("");return 0;
}

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