主成分分析（R语言）

代码实现如下：

data3.3<-read.csv("C:/Users/Administrator/Desktop/data3.3.csv",head=TRUE)
datas<-data.frame(scale(data3.3[,1:6]))
pr3.3<-princomp(~x1+x2+x3+x4+x5,datas,cor=T)
# 对5个变量做主成分分析，其中cor=T表明是用相关系数矩阵进行主成分分析
summary(pr3.3,loadings=TRUE)  # 输出主成分分析的结果
pr3.3$scores[,1:2]  # 输出前两个主成分的得分

输出结果为：

　　summary()的输出结果中Inportance of components部分第一行是5个主成分的标准差，即主成分所对应的特征跟的算术平方根λk\sqrt\lambda_{k}λk；第二行是各主成分方差所占的比例，反映了主成分所能解释数据变异的比例，也就是包含原数据信息的比例；第三行是累积比例。
　　第一个主成分Comp.1的方差百分比为79.826%，含有原始5个变量近80%的信息量；前面两个主成分累积百分比为98.468%，几乎包含了5个变量的全部信息，因此取前两个主成分已经足够。
　　另外，Loadings部分输出的矩阵为各主成分表达式中Xi∗X_{i}^{*}Xi∗的系数，其中空白部分为默认的为输出的<0.1的值。
　　现在，我们仅保留前两个主成分对其进行最小二乘回归。
　代码实现如下：

pre3.3<-pr3.3$scores[,1:2]  # 将前两个主成分的得分保存在变量pre3.3中
datas$z1<-pre3.3[,1]  # 将第一主成分的得分添加在数据框datas中，变量名为z1
datas$z2<-pre3.3[,2]  # 将第二主成分的得分添加在数据框datas中，变量名为z2
pcr3.3<-lm(y~z1+z2-1,datas)
summary(pcr3.3)

输出结果为：
　　
　　由输出结果可以知道，主成分的回归方程为：
　　　　　　　
　　　　　　　y^∗=0.473z1+0.194z2\hat{y}^{*}=0.473z_{1}+0.194z_{2}y^∗=0.473z1+0.194z2

由于主成分是标准化后自变量的线性组合，如果想要得到y∗y^{*}y∗关于自变量x1∗,x2∗,x3∗,x4∗,x5∗x_{1}^{*},x_{2}^{*},x_{3}^{*},x_{4}^{*},x_{5}^{*}x1∗,x2∗,x3∗,x4∗,x5∗的回归方程，只需要分别将下面两个式子
　　
　　z1=0.493x1∗+0.495x2∗+0.207x3∗+0.482x4∗+0.486x5∗z_{1}=0.493x_{1}^{*}+0.495x_{2}^{*}+0.207x_{3}^{*}+0.482x_{4}^{*}+0.486x_{5}^{*}z1=0.493x1∗+0.495x2∗+0.207x3∗+0.482x4∗+0.486x5∗
　　z1=0.171x1∗+0.137x2∗−0.941x3∗+0.221x4∗−0.133x5∗z_{1}=0.171x_{1}^{*}+0.137x_{2}^{*}-0.941x_{3}^{*}+0.221x_{4}^{*}-0.133x_{5}^{*}z1=0.171x1∗+0.137x2∗−0.941x3∗+0.221x4∗−0.133x5∗

代入上式即可。

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