编辑距离及编辑距离算法 | Levenshtein距离 |DP

感谢：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/09/28/2707343.html

加一点自己理解

编辑距离概念描述：

编辑距离，又称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。

例如将kitten一字转成sitting：

sitten （k→s）
sittin （e→i）
sitting （→g）

俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。

问题：找出字符串的编辑距离，即把一个字符串s1最少经过多少步操作变成编程字符串s2，操作有三种，添加一个字符，删除一个字符，修改一个字符

解析：

首先定义这样一个函数——edit(i, j)，它表示第一个字符串的长度为i的子串到第二个字符串的长度为j的子串的编辑距离。

显然可以有如下动态规划公式：

if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
if i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = j
if i > 0 且j == 0，edit(i, j) = i
if i ≥ 1 且 j ≥ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，当第一个字符串的第i个字符不等于第二个字符串的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。

	0	f	a	i	l	i	n	g
0
s
a
i
l
n

	0	f	a	i	l	i	n	g
0	0	1	2	3	4	5	6	7
s	1
a	2
i	3
l	4
n	5

计算edit(1, 1)，edit(0, 1) + 1 == 2，edit(1, 0) + 1 == 2，edit(0, 0) + f(1, 1) == 0 + 1 == 1，min(edit(0, 1)，edit(1, 0)，edit(0, 0) + f(1, 1))==1，因此edit(1, 1) == 1。依次类推：

	0	f	a	i	l	i	n	g
0	0	1	2	3	4	5	6	7
s	1	1	2	3	4	5	6	7
a	2	2
i	3
l	4
n	5

edit(2, 1) + 1 == 3，edit(1, 2) + 1 == 3，edit(1, 1) + f(2, 2) == 1 + 0 == 1，其中s1[2] == 'a' 而 s2[1] == 'f'‘，两者不相同，所以交换相邻字符的操作不计入比较最小数中计算。以此计算，得出最后矩阵为：

	0	f	a	i	l	i	n	g
0	0	1	2	3	4	5	6	7
s	1	1	2	3	4	5	6	7
a	2	2	1	2	3	4	5	6
i	3	3	2	1	2	3	4	5
l	4	4	3	2	1	2	3	4
n	5	5	4	3	2	2	2	3

状态转移，从edit(i, j) 三个方向转来

edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1 表示插入或删除一个字符

edit(i-1, j-1) + f(i, j) f(i,j)=0 表示不替换 f(i,j)=1表示替换1次

算是一个DP实例

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int N=1e3+5;
int dp[N][N];
char str1[N],str2[N];
int main()
{int len1,len2;while(scanf("%s%s",str1,str2)!=EOF){len1=strlen(str1);len2=strlen(str2);for(int i=0;i<=len1;i++){dp[i][0]=i;}for(int i=0;i<=len2;i++){dp[0][i]=i;}for(int i=1;i<=len1;i++){for(int j=1;j<=len2;j++){dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1);dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+(str1[i-1]!=str2[j-1]));}}for(int i=0;i<=len1;i++){for(int j=0;j<=len2;j++){printf("%d ",dp[i][j]);}puts("");}printf("%d\n",dp[len1][len2]);}return 0;
}

我们来看一个实际应用。现代搜索技术的发展很多以提供优质、高效的服务作为目标。比如说：baidu、google、sousou等知名全文搜索系统。当我们输入一个错误的query="Jave" 的时候，返回中有大量包含正确的拼写 "Java"的网页。当然这里面用到的技术绝对不会是我们今天讲的怎么简单。但我想说的是：字符串的相似度计算也是做到这一点的方法之一。

在信息检索领域的应用我们在文章开始的时候就提到了。另外，编辑距离在自然语言文本处理领域(NLP)中是计算字符串相似度的重要方法。一般而言，对于中文语句的相似度处理，我们很多时候都是将词作为一个基本操作单位，而不是字(字符)。

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