%hermite.m

%求埃尔米特多项式和误差估计的MATLAB主程序

%输入的量:X是n+1个节点(x_i,y_i)(i = 1,2, ... , n+1)横坐标向量，Y是纵坐标向量，

%以f'(x_i)=y'_i(i = 1,2,...,n+1)为元素的向量Y1;

%x是以向量形式输入的m个插值点，M在[a,b]上满足｜f~(2n+2)(x)｜≤M

%注：f~(2n+2)(x)表示f(x)的2n+2阶导数

%输出的量：向量y是向量x处的插值，误差限R,2n+1阶埃尔米特插值多项式H_k及其系数向量

%H_c,误差公式wcgs及其系数向量Cw.

function[y,R,Hc,Hk,wcgs,Cw] = hermite(X,Y,Y1,x,M)

n = length(X);

m = length(x);

for t = 1 : m

z = x(t);

H = 0;

q = 1;

c1 = 1;

for k = 1 : n

s = 0;

V = 1;

for i = 1 : n

if k ~= i

s = s + (1/(X(k)-X(i)));

V = conv(V,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));

end

end

h = poly(X(k));

g = ([0 1]-2 * h * s);%注意不要写成1-2*h*s，因为是多项式减法，低阶多项式前面必须用零填补，书上的错误，浪费我一晚上时间

G = g * Y(k) + h * Y1(k);

H = H + conv(G,conv(V,V));%hermite插值多项式

b = poly(X(k));

b2 = conv(b,b);

q = conv(q,b2);

end

Hc = H;

Hk = poly2sym(H);

Q = poly2sym(q);

for i = 1 : 2*n

c1 = c1 * i;

end

wcgs = M * Q / c1;

Cw = M * q / c1;

y(t) = polyval(Hc,x(t));

R(t) = polyval(Cw,x(t));

end

%hermite.m

%求埃尔米特多项式和误差估计的MATLAB主程序

%输入的量:X是n+1个节点(x_i,y_i)(i = 1,2, ... , n+1)横坐标向量，Y是纵坐标向量，

%以f'(x_i)=y'_i(i = 1,2,...,n+1)为元素的向量Y1;

%x是以向量形式输入的m个插值点，M在[a,b]上满足｜f~(2n+2)(x)｜≤M

%注：f~(2n+2)(x)表示f(x)的2n+2阶导数

%输出的量：向量y是向量x处的插值，误差限R,2n+1阶埃尔米特插值多项式H_k及其系数向量

%H_c,误差公式wcgs及其系数向量Cw.

function[y,R,Hc,Hk,wcgs,Cw] = hermite(X,Y,Y1,x,M)

n = length(X);

m = length(x);

for t = 1 : m

z = x(t);

H = 0;

q = 1;

c1 = 1;

for k = 1 : n

s = 0;

V = 1;

for i = 1 : n

if k ~= i

s = s + (1/(X(k)-X(i)));

V = conv(V,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));

end

end

h = poly(X(k));

g = ([0 1]-2 * h * s);%注意不要写成1-2*h*s，因为是多项式减法，低阶多项式前面必须用零填补，书上的错误，浪费我一晚上时间

G = g * Y(k) + h * Y1(k);

H = H + conv(G,conv(V,V));%hermite插值多项式

b = poly(X(k));

b2 = conv(b,b);

q = conv(q,b2);

end

Hc = H;

Hk = poly2sym(H);

Q = poly2sym(q);

for i = 1 : 2*n

c1 = c1 * i;

end

wcgs = M * Q / c1;

Cw = M * q / c1;

y(t) = polyval(Hc,x(t));

R(t) = polyval(Cw,x(t));

end

从这图片看要比拉格朗日和牛顿插值要好，不过当插值多了以后，也就是埃尔米特多项式的次数高了以后误差会变得很大的。不信我们来试试。

我们还是用sinx，不过这次我们用5个点。

X                       0                         pi/6                          pi/4                         pi/3                     pi/2

Y                       0                         0.5                          0.7071                    0.8660                    1

Y1                     1                        0.8660                     0.7071                       0.5                       0

>> X = [0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2];Y = [0 0.5 0.7071 0.8660 1];Y1 = [1 0.8660 0.7071 0.5 0];

>> M = 1;

>> x = linspace(0, pi, 50);

>> [y,R,Hc,Hk,wcgs,Cw] = hermite(X,Y,Y1,x,M)

>> y1 = sin(x);

>> errorbar(x,y,R,'.g')

>> hold on

>> plot(X, Y, 'or', x, y, '.k', x, y1, '-b');

>> legend('误差','样本点','埃尔米特插值估算','sin(x)');

可以看到拟合的多项式从x=2.5开始远远偏离sinx，并且此时误差公式也失效了.这就是我们后面需要讲到的高次插值的振荡问题。