空间正交基的定义_正交向量与子空间

2024-05-18 22:18:57

正交(Orthogonality)

正交是垂直概念的推广，是线性代数中的用语。如果两个向量之间的角度是90度，则这两个向量正交。

比如下图，向量x和向量y正交。于是与向量x+y在长度上符合勾股定理的关。

假设

将勾股关系用向量的关系表示如下

所以我们得到

表示向量x和向量y正交。

根据这个关系，可以得到0向量和任何向量都正交。

正交子空间（subspace）

子空间S 和子空间T正交是什么意思呢？

如果子空间S里面的所有向量都和子空间T里面的所有向量正交，那么我们称子空间S与子空间T正交。

注意，子空间S 和子空间T正交和垂直有一点区别。

如下图，子空间S形成的平面和子空间T形成的平面垂直。但是子空间S形成的平面和子空间T不正交。因为他们的交界处向量即属于子空间S也属于子空间T,而交界处的非零向量是无法与自己正交的。所以不满足子空间的正交定义。

真正正交的子空间是不会相交的，也就没有共同的非零向量。

介绍完正交向量和正交子空间，我们要应用在我们熟悉的4种基本子空间上。

在四种基本的子空间 (Fundamental Subspace) 中，我们知道了每个子空间的维度与对应关系。

现在有了正交子空间的概念。我们就来看看这4种子空间之间究竟有没有正交关系呢？

我们先来看Null Space

把A写成行向量的形式如下

根据这个等式可知，

=0,

A的所有行向量和x的内积都为0。

我们得到A的Row Space 与A的Null Space 正交。

因为null space 中的向量必然会与A中所有的行向量正交，也必然会和A中所有行向量的线性组合正交。

同理，我们可以推出A的column Space 与A的left null space 正交。

我们知道row space 和 null space同属于

空间的子空间，

, 而

和

正交，说明

囊括了

空间内所有和

正交的向量。这种情况，我们称之为

正交补（orthogonal complement）

向量空间V的一个子空间 W的正交补记为

, 其集合表达式为。<>括号表示两个向量的内积。

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