自然常数e的矩阵指数

3Blue1Brown，「e的矩阵指数——怎么算？为什么?」，2021-04-08，https://www.bilibili.com/video/BV11y4y1b7c5

【转注】exe^xex是泰勒级数1+x+x22!+x33!+…1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots1+x+2!x2+3!x3+…的简记。3Blue1Brown在这个视频说明当xxx是矩阵时，是什么含义。

1715年泰勒先生发表泰勒级数的论文。泰勒级数的目标是用多项式来模拟当年无法计算的函数，如天文学、航海学、制图学的三角函数。

自然常数eee的定义是：
e=lim⁡n→+∞(1+1n)ne=\lim_{n \to +\infty }(1+\frac{1}{n})^n e=n→+∞lim(1+n1)n

我过去很疑惑，为什么可以这样定义自然常数？如果用(a+b)n(a+b)^n(a+b)n二项式展开——
ex=lim⁡n→+∞(1+xn)n=lim⁡n→+∞[Cn01n−0(xn)0+Cn11n−1(xn)1+⋯+Cni1n−i(xn)i+⋯+Cnn10(xn)n]=lim⁡n→+∞[1+x+x22!+⋯+xnn!]\begin{aligned} e^x&=\lim_{n \to +\infty }(1+\frac{x}{n})^n\\ &=\lim_{n \to +\infty }[C_n^01^{n-0}(\frac{x}{n})^0+C_n^11^{n-1}(\frac{x}{n})^1+\dots+C_n^i1^{n-i}(\frac{x}{n})^i+\dots+C_n^n1^0(\frac{x}{n})^n] \\ &=\lim_{n \to +\infty }[1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}] \end{aligned} ex=n→+∞lim(1+nx)n=n→+∞lim[Cn01n−0(nx)0+Cn11n−1(nx)1+⋯+Cni1n−i(nx)i+⋯+Cnn10(nx)n]=n→+∞lim[1+x+2!x2+⋯+n!xn]
此即泰勒级数。

百度百科自然常数说：

在1690年，莱布尼茨在信中第一次提到常数e。在论文中第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔（John Napier）于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德（William Oughtred）制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）。欧拉也听说了这一常数，所以在27岁时，用发表论文的方式将e“保送”到微积分。

自然常数e≈2.71828e \approx 2.71828e≈2.71828。

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