python牛顿法算立方根_使用牛顿法迭代求平方根与立方根

平方根：求 a 的平方根 \(x=\sqrt{a}\)，相当于求 \(f(x)=x^2-a=0\) 的根。

立方根：求 a 的立方根 \(x=\sqrt[3]{a}\)，相当于求 \(f(x)=x^3-a=0\) 的根。

迭代步骤：（实际上就是不停地作切线，直到切点和所求的根非常接近）

先选取一个迭代的初始值\(x_0\)

可以求出\(f(x)\)在\(x_0\)处的切线方程：\(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)

该切线与x轴的交点为：\(x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\)

令\(x_0=x_1\)，继续上述迭代过程，直到\(\lvert x_0-x_1\rvert\)小于阈值。

当\(f(x)=x^2-a\)时，\(x_1=x_0-\frac{x_0^2-a}{2x_0}=\frac{x_0}{2}+\frac{a}{2x_0}\)

当\(f(x)=x^3-a\)时，\(x_1=x_0-\frac{x_0^2-a}{2x_0}=\frac{2x_0}{3}+\frac{a}{3x_0^2}\)

根据以上步骤，取阈值\(10^{-5}\)作为迭代终止条件，Java 代码如下：

public class Test {

public static void main(String[] args) {

double x = 100;

System.out.println("平方根测试：");

System.out.println(new Solution().mySqrt(x));

System.out.println(Math.sqrt(x));

System.out.println("立方根测试：");

System.out.println(new Solution().mySqrt3(x));

System.out.println(Math.pow(x, 1.0 / 3));

}

class Solution {

// 平方根

public double mySqrt(double x) {

if (x == 0 || x == 1) return x;

double x_0 = 1.0, x_1 = x;

do {

x_0 = x_1;

x_1 = (x_0 + x / x_0) / 2;

} while (Math.abs(x_0 - x_1) > 1e-5);

return x_1;

}

// 立方根

public double mySqrt3(double x) {

if (x == 0 || x == 1) return x;

double x_0 = 1.0, x_1 = x;

do {

x_0 = x_1;

x_1 = (2 * x_0 + x / x_0 / x_0) / 3;

} while (Math.abs(x_0 - x_1) > 1e-5);

return x_1;

}

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