第四天：目标规划(goal programming)

·目标规划问题及其数学模型

1.目标规划问题的提出

二、目标规划的数学模型

·Matlab中的目标规划函数——fgoalattain、gamultiobj

1.fgoalattain

2.gamultiobj

·目标规划问题及其数学模型

1.目标规划问题的提出

例：某一工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求生产制定一个获利最大的生产计划。具体数据见表1-1。

表1-1

产品	1	2	限量/件
原材料/(Kg/件)	5	10	60
设备工时(h/件)	4	4	40
利润/(元/件)	6	8

设产品1和产品2的产量分别为 $x_1$ ， $x_2$ ,当用线性规划来描述解决这个问题时，其数学模型为：

max $z=6x_1+8x_2$

$st. 5x_1+10x_2<=60$

$4x_1+4x_2<=40$

$x_1,x_2>=0$

其最优解，即最优生产计划 $x_1=8,x_2=10,z=64$ 。

从线性规划的角度来看，问题似乎解决了，但是实际的要求中又与此有很大出入，财务部希望利润高，物资部希望材料消耗少，销售部门希望产品品种多样，适销对路；计划部门希望尽可能地大批量生产等等。也就是说，一个计划问题实际上是一个多目标决策的问题。

倘若一些限制条件是有弹性的，在一定条件下可以不用满足限制也可以，限制条件同时也有着优先级的区别等等。

由此分析，刚性约束或许并不符合实际，在计划实施的过程约束可以有一定的弹性。现代决策强调定量分析同定性分析相结合，强调硬技术同软技术相结合，强调矛盾与冲突的合理性；强调妥协与让步的必要性。

1961年，查恩斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)提出目标规划(goal programming)，得到广泛的重视和较快发展。目标规划在处理实际问题时，承认各项决策要求(可以时冲突的)的存在有其合理性；在做最终决策时，不强调其绝对意义的最优性。因此，目标函数被认为是一种更接近实际决策的决策工具。

二、目标规划的数学模型

假设在例1中，计划人员被要求考虑如下意见：

(1)由于产品2销售疲软，故希望产品2的产量不超过产品1的一半

(2)原材料严重短缺，生产中应避免过度消耗

(3)最好能节约4h设备工时

(4)计划利润不少于48元

面对这些意见，计划人员根据实际情况来对这些意见的优先级进行考虑，类似于这样的多目标决策问题就是典型的目标规划问题。

目标规划数学模型涉及下述基本概念：

1.偏差变量

对每一个决策目标，引入正负偏差变量 $d^+$ 和 $d^-$ ，分别表示决策值超过或不足目标值的部分。按定义应有 $d^+>=0,d^->=0,d^+d^-=0$

2.绝对约束和目标约束

绝对约束是指必须严格满足的约束条件，如线性规划中的约束条件都是绝对约束，即硬性约束。目标约束是目标规划特有的概念，是一种软约束，目标约束中决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。

3.优先因子于权系数

不同目标的主次轻重有两种差别。一种差别是绝对的，可以用优先因子 $P_t$ 来表示。只有高级优先级满足的基础上才能满足低级优先级。t值越大，优先级越小。

4.目标规划的目标函数

目标规划的目标函数(又称为准则函数或达成函数)由各目标约束的偏差变量及相应的优先因子和权系数构成。由于目标规划追求的是尽可能地接近目标值，也就是使各个有关偏差变量尽可能小，所以其目标函数只能是极小化。应用时，有三种基本表达式：

(1)要求恰好达到目标值。这时，决策值超过或不足目标值都是不希望的，因此有

$min{f(d^++d^-)}$

(2)要求不超过目标值，但允许不足目标值。这时，不希望决策值超过目标值，因此有

$min{f(d^+)}$

(3)要求不低于目标值，但允许超过目标值，但不希望决策值低于目标值，因此有

$min{f(d^-)}$

建立数学模型：

假设原材料不得超过(绝对约束)；产品2的产量要求优先考虑(目标约束)；设备工时其次考虑(目标约束);最后考虑计划利润的要求(目标约束)。

则可以建立如下目标规划模型：

$min{(P_1d_1^-,P_2d_2^+,P_3d_3^-)}$

$5x_1+10x_2<=60$

$x_1-2x_2+d_1^--d_1^+=0$

$4x_1+4x_2+d_2^--d_2^+=36$

$6x_1+8x_2+d_3^--d_3^+=48$

$x_1,x_2,d_i^-,d_i^+>=0(i=1,2,3)$

根据题意，应有 $P_1>>P_2>>P_3$

·Matlab中的目标规划函数——fgoalattain、gamultiobj

1.fgoalattain

使用方法

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

[x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(problem)

fgoalattain可以用来形式如下的目标规划问题

$min(fun)$

$C(x)<=0$

$Ceq(x)=0$

$A*x<=0$

$Aeq*x=0$

$fun*weight<=goal$

$lb<=x<=ub$

PS:由于fgoalattain解的是极小化问题，因此当第i个目标fun(i)为最大时，fun(i)和goal(i)的系数需变为负

以例1来说，Matlab的代码如下：

fun函数

function f = fun(x)
f(1) = abs(x(1)-2*x(2));  %对产品2的目标
f(2) = abs(4*x(1)+4*x(2)-36);%对设备工时的目标
f(3) = -6*x(1)-8*x(2);%利润目标
end

main函数

goal = [0,0,-48];
weight = [10,2,1];       %权重，权重会对结果造成影响
A = [5,10];
b = 60;
Aeq = [];
beq = [];
lb = [0,0];
ub = [12,6];
x0 = [6,3];
[x,fval] = fgoalattain(@fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

运行结果

x =6.0000    3.0000fval =0.0000    0.0000  -60.0000

当 $x_1=0.5$ , $x_2=5.7$ 时，可以保证在权重goal=[10,2,1]情况下的最优解。此时可以保证所有目标。

对结果造成影响的变量是goal，不同的goal所计算的结果也会不同。具体情况具体分析。

2.gamultiobj

gamultiobj是Optimization Toolbox中使用遗传算法来解多目标问题的一个函数，其使用方法同fgoalattain类似

x = gamultiobj(fun,nvars)
x = gamultiobj(fun,nvars,A,b)
x = gamultiobj(fun,nvars,A,b,Aeq,beq)
x = gamultiobj(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = gamultiobj(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = gamultiobj(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)
x = gamultiobj(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
x = gamultiobj(problem)
[x,fval] = gamultiobj(___)
[x,fval,exitflag,output] = gamultiobj(___)
[x,fval,exitflag,output,population,scores] = gamultiobj(___)

其中，nvars为变量个数

[x,fx] = gamultiobj(@fun,2,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

运行结果

x =0         07.2148    1.78510.0010    0.00053.2038    1.601912.0000    0.00015.4767    1.77654.1632    1.763310.7448    0.18669.5508    0.74116.1941    1.75060         03.6907    1.653112.0000         011.1880    0.24585.0110    1.76408.3720    1.54858.3708    1.284610.8537    0.4111fx =0   36.0000         03.6447    0.0004  -57.56960.0000   35.9941   -0.00980.0000   16.7770  -32.038411.9998   12.0003  -72.00061.9236    6.9872  -47.07220.6365   12.2940  -39.085610.3716    7.7259  -65.96218.0687    5.1673  -63.23312.6928    4.2212  -51.16950   36.0000         00.3846   14.6247  -35.369112.0000   12.0000  -72.000010.6964    9.7348  -69.09371.4831    8.9000  -44.17805.2750    3.6820  -62.62005.8016    2.6214  -60.501310.0314    9.0591  -68.4109

gamultiobj直接返回多个满足条件的解，如何选择看实际要求。

参考书籍：

胡运权，郭耀煌.运筹学教程[M].北京：清华大学出版社，2018：105-108