1．线性规划的局限性

2．实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标

3．目标规划（Goal Programming）

4．求解思路（1）加权系数法（2）优先等级法（3）有效解法

2 目标规划的数学模型

1. 正、负偏差变量 2. 绝对（刚性）约束和目标约束

3. 优先因子（优先等级）与权系数 4. 目标规划的目标函数

5．目标规划的一般数学模型

3 求解目标规划的序贯式算法

4 多标规划的 Matlab 解法习题

1．线性规划的局限性

只能解决一组线性约束条件下，某一目标只能是一个目标的最大或最小值的问题。

2．实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标

这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的，也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，LP 则无能为力。

3．目标规划（Goal Programming）

美国经济学家查恩斯（A. Charnes）和库柏（W. W. Cooper）在 1961 年出版的《管理模型及线性规划的工业应用》一书中，首先提出的。

4．求解思路

（1）加权系数法

为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。

（2）优先等级法

将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。

（3）有效解法

寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

2 目标规划的数学模型

为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题的方法上的区别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。

例1 某工厂生产 I，II 两种产品，已知有关数据见下表，试求获利最大的生产方案。

解这是一个单目标的规划问题，用线性规划模型表述为：

但实际上工厂在作决策方案时，要考虑市场等一系列其它条件。如

（i）根据市场信息，产品 I 的销售量有下降的趋势，故考虑产品 I 的产量不大于产品 II。

（ii）超过计划供应的原材料，需要高价采购，这就使成本增加。

（iii）应尽可能充分利用设备，但不希望加班。

（iv）应尽可能达到并超过计划利润指标 56 元。

这样在考虑产品决策时，便为多目标决策问题。目标规划方法是解决这类决策问题的方法之一。下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。

1. 正、负偏差变量

2. 绝对（刚性）约束和目标约束

3. 优先因子（优先等级）与权系数

4. 目标规划的目标函数

对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和赋于各目标的优先因子来构造目标函数，以下用例子说明。

例 2 ：例 1 的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产品 II 的产量不低于产品 I 的产量；其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于 56 元。求决策方案。解按决策者所要求的，分别赋于这三个目标 $P_{1}\,, P_{2}\, ,P_{3}\,$ 优先因子。这问题的数学模型是

5．目标规划的一般数学模型

建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，它都具有一定的主观性和模糊性，可以用专家评定法给以量化。

3 求解目标规划的序贯式算法

序贯式算法是求解目标规划的一种早期算法，其核心是根据优先级的先后次序，将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后再依次求解。

注此时最优解的概念与线性规划最优解的概念已有所不同，但为方便起见，仍称为最优解。

例 3 某企业生产甲、乙两种产品，需要用到 A ,B ,C 三种设备，关于产品的赢利与使用设备的工时及限制如下表所示。问该企业应如何安排生产，才能达到下列目标：

（1）力求使利润指标不低于 1500 元；

（2）考虑到市场需求，甲、乙两种产品的产量比应尽量保持 1:2；

（3）设备 A为贵重设备，严格禁止超时使用；

（4）设备 C 可以适当加班，但要控制；设备B 既要求充分利用，又尽可能不加班。在重要性上，设备B 是设备C 的 3 倍。

建立相应的目标规划模型并求解。

解设备 A是刚性约束，其余是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，因此，将它的优先级列为第一级；其次，甲、乙两种产品的产量保持 1:2 的比例，列为第二级；再次，设备 B C, 的工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的三倍，因此，它们的权重不一样，设备B 前的系数是设备C 前系数的 3 倍。由此得到相应的目标规划模型。

序贯算法中每个单目标问题都是一个线性规划问题，可以使用 LINGO 软件进行求解。求第一级目标。LINGO 程序如下：

model:
sets:
variable/1..2/:x;
S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;
S_con(S_Con_Num,Variable):c;
endsets
data:
g=1500 0 16 15;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
enddata
min=dminus(1);
2*x(1)+2*x(2)<12;
@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i )=g(i));
end

求得 dminus(1)=0，即目标函数的最优值为 0，第一级偏差为 0。

求第二级目标，LINGO 程序如下：

model:
sets:
variable/1..2/:x;
S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;
S_con(S_Con_Num,Variable):c;
endsets
data:
g=1500 0 16 15;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
enddata
min=dplus(2)+dminus(2);    !二级目标函数;
2*x(1)+2*x(2)<12;
@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i )=g(i));
dminus(1)=0;!一级目标约束;
@for(variable:@gin(x));
end

求得目标函数的最优值为 0，即第二级的偏差仍为 0。求第三级目标，LINGO 程序如下：

model:
sets:
variable/1..2/:x;
S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;
S_con(S_Con_Num,Variable):c;
endsets
data:
g=1500 0 16 15;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
enddata
min=3*dplus(3)+3*dminus(3)+dplus(4);    !三级目标函数;
2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i )=g(i));
dminus(1)=0;!一级目标约束;
dplus(2)+dminus(2)=0;!二级目标约束;
end

目标函数的最优值为29，即第三级偏差为29。

分析计算结果， $x_{1}=2\, ,x_{2}=4\, ,d_{1}^{+}=100$ ，因此，目标规划的最优解为 $x^{\ast }=\left ( 2,4 \right )$ ，最优利润为1600。

上述过程虽然给出了目标规划问题的最优解，但需要连续编几个程序，这样在使用时不方便，下面用 LINGO 软件，编写一个通用的程序，在程序中用到数据段未知数据的编程方法。

例 4（续例 3）按照序贯式算法，编写求解例 3 的通用 LINGO 程序。

model:
sets:
level/1..3/:p,z,goal;
variable/1..2/:x;
h_con_num/1..1/:b;
s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;
h_con(h_con_num,variable):a;
s_con(s_con_num,variable):c;
obj(level,s_con_num)/1 1,2 2,3 3,3 4/:wplus,wminus;
endsets
data:
ctr=?;
goal=? ? 0;
b=12;
g=1500 0 16 15;
a=2 2;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
wplus=0 1 3 1;
wminus=1 1 3 0;
enddata
min=@sum(level:p*z);
p(ctr)=1;
@for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);
@for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)* dminus(j))); @for(h_con_num(i):@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<b(i)); @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i )=g(i)); @for(level(i)|i #lt# @size(level):@bnd(0,z(i),goal(i)));
end

4 多标规划的 Matlab 解法

多目标规划可以归结为

［x,fval］= fgoalattain('fun',x0,goal,weight)
［x,fval］= fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b)
［x,fval］= fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)
［x,fval］= fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

要完整掌握其用法，请用 help fgoalattain 或 type fgoalattain 查询相关的帮助。
例 5 求解多目标线性规划问题

解（i）编写 M 函数 Fun.m:

function F=Fun(x); F(1)=-100*x(1)-90*x(2)-80*x(2)-70*x(4); F(2)=3*x(2)+2*x(4);

（ii）编写 M 文件

a=[-1 -1  0  0    0  0  -1 -1    3  0   2  0    0  3   0  2];
b=[-30 -30 120 48]';
c1=[-100 -90 -80 -70];
c2=[0 3 0 2];
[x1,g1]=linprog(c1,a,b,[],[],zeros(4,1))  %求第一个目标函数的目标值
[x2,g2]=linprog(c2,a,b,[],[],zeros(4,1))  %求第二个目标函数的目标值
g3=[g1;g2]  %目标goal的值
[x,fval]=fgoalattain('Fun',rand(4,1),g3,abs(g3),a,b,[],[],zeros(4 ,1))
%这里权重weight=目标goal的绝对值

就可求得问题的解。

习题

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1．线性规划的局限性

2．实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标

3．目标规划（Goal Programming）

4．求解思路

（1）加权系数法

（2）优先等级法

（3）有效解法

2 目标规划的数学模型

1. 正、负偏差变量

2. 绝对（刚性）约束和目标约束

3. 优先因子（优先等级）与权系数

4. 目标规划的目标函数

5．目标规划的一般数学模型

3 求解目标规划的序贯式算法

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