凸集概念

设集合S∈RnS\in R^nS∈Rn，如果对任意的x1x2∈Sx_1x_2\in Sx1x2∈S，和任意λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]λ∈[0,1]，都有λx1+(1−λ)x2∈S\lambda x_1+(1-\lambda)x_2\in Sλx1+(1−λ)x2∈S，那么说SSS是一个凸集。

凸包概念

设x1,x2,...,xm∈Rnx_1,x_2,...,x_m\in R^nx1,x2,...,xm∈Rn，λi∈[0,1]，i=1,2,...,m\lambda_i\in [0,1]，i=1,2,...,mλi∈[0,1]，i=1,2,...,m满足λ1+λ2+λ3+...+λm=1\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+...+\lambda_m=1λ1+λ2+λ3+...+λm=1，那么说x1λ1+x2λ2+...+xmλmx_1\lambda_1+x_2\lambda_2+...+x_m\lambda_mx1λ1+x2λ2+...+xmλm是x1,x2,...,xmx_1,x_2,...,x_mx1,x2,...,xm的一个凸包。

程序演示

就二维点集来说，如果一个集合是凸集，那么集合内任意任意两点连成的直线上任意两点都在集合内。
任意个点的凸包是包围所有点的面积最小的区域。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npx1=np.array([0,0])
x2=np.array([1,1])
x3=np.array([10,5])set=[]
index=np.arange(0,1,0.01)
for index_1 in index:for index_2 in index:index_3=1-index_1-index_2if index_3<0:continuepoint=index_1*x1+index_2*x2+index_3*x3set.append(point)x=[]
y=[]
for point in set:x.append(point[0])y.append(point[1])plt.scatter(x,y)
# plt.scatter(x1[0],x1[1])
# plt.scatter(x2[0].x2[1])
# plt.scatter(x3[0],x3[1])
plt.scatter(0,0,c=(1,0,0))
plt.scatter(10,5,c=(1,0,0))
plt.scatter(1,1,c=(1,0,0))
plt.show()

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