[科技] 假装是ETT的ETT

[科技] 假装是ETT的ETT

Codechef 的 April Challenge 2019 Division 1 的 Sonya and Queries 这题的\(45\)分部分分，似乎是一个出栈入栈序\(ETT\)，看着似乎还挺好的，就写了写。那么这里就讲一讲这个假装是\(ETT\)的\(ETT\)。

\(ETT\)，全称\(Euler-Tour-Tree\)。实际上真实的\(ETT\)是用树上的欧拉回路来写的，但是也有这种省略欧拉回路为入栈出栈序列的\(ETT\)，个人感觉可能后者更容易实现，但是与前者的不同就是似乎后者不能换根，但是可以进行链上操作……如果要学欧拉回路的\(ETT\)的话可以看这个文章。

首先出栈入栈序列，或者叫做括号序这个东西，用处还是挺多的，比较常见的就是用在\(RMQ\ LCA\)的问题上，可以做到\(O(nlogn)\)预处理，\(O(1)\)查询\(LCA\)的优秀复杂度。其主要的性质就是对于每一个点的出栈与入栈时间\(in[x]\)和\(out[x]\)，都有\([in[x], out[x]]\)中所有的节点都是\(x\)的子树中的节点。这个还是比较显然的，这也是\(ETT\)能够在某些地方代替\(LCT\)维护动态树的基础。

于是我们尝试用括号序\(ETT\)实现一些\(LCT\)的操作。

首先是最基础的\(Link / Cut\)：

考虑到\(Link / Cut\)就是把\(x\)的子树和\(x\)的父亲断开或者接到另一个节点\(y\)上，而这个操作在括号序上的表现即是序列上一个连续段的平移。这个操作我们再熟悉不过了，利用平衡树就可以优秀地解决了。

然后是一些基础的子树操作，例如子树加，子树赋值，子树求和，子树求\(Max\)等等：

还是考虑括号序的性质，\(x\)的子树都在\([in[x], out[x]]\)这个区间中，在平衡树中将这个区间分裂出来之后找到根节点，就可以得到区间的信息了，或者打一些子树的标记了。不过需要注意的是，在子树求和的时候，由于区间中的数实际上有\(2 * sz\)个，所以答案应该要除以\(2\)。

还有一写单点的操作也是和子树操作类似的，就不赘述了。但是有一个细节也是和子树求和差不多的，就是单点操作的时候要操作两个点，这点不要忘记。

然后是一些链上的操作：

（注：这里的链上操作，博主似乎都只会那种直接到根节点的操作，并且这种方法似乎不能求链上\(\min, \max\)，如果有什么更为优秀的实现方式，欢迎评论）
考虑括号序的实质是入栈出栈序列，假设我们需要操作是\(x\)到根的一条链，那么我们考虑\([1, out[x]]\)这个区间，如果对于一个节点\(u\)，\(in[u]\)和\(out[u]\)都在这个区间里的话，那么说明这个节点\(u\)并不在需要操作的链上。
以链求和为例，我们就可以在平衡树插入的节点进行一些修改。对于节点\(x\)，我们在\(in[x]\)出插入\(val[x]\)，在\(out[x]\)出插入\(-val[x]\)。那么链求和就是\([1, out[x]]\)中的所有节点的和，这个平衡树也是可以优秀的解决的。唯一不怎么优秀的就是需要开两个平衡树……

这些大概就是一些\(ETT\)能够满足的操作了。可能博主学的并不精，勿喷……

给一道例题吧：例题
代码应该还好写的，就不放出来了……

至于Codechef么……emm……反正比赛也快结束了……\(45\)分的部分分也应该没什么人要的样子啊，我就直接放出来了吧嘿嘿嘿……反正没多少人看……

Code：

用的是\(fhq \ Treap\)来实现的……

大致就是需要支持:\(Link / Cut\)（保证操作的为原树上的边），子树求和，子树赋值，单点加，单点查询，子树加。
还算好写吧……

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3E5 + 50;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
typedef vector<int> Vec;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pairint n, m, ID, clck;
struct edge {int u, v;
}E[N << 2];
ll a[N];
Vec G[N], t;
int in[N], out[N];
char s[N];namespace Treap {struct node {int ls, rs, sz, zero, fa;ll v, sum, Rnd, tag;}t[N << 1];int tot, rt;
#define ls(o) t[o].ls
#define rs(o) t[o].rs
#define pa(o) t[o].faint Newnode(ll V) {t[++tot].ls = t[tot].rs = t[tot].zero = t[tot].fa = t[tot].tag = 0; t[tot].sz = 1;t[tot].Rnd = 1ll * rand() * rand(); t[tot].sum = t[tot].v = V;return tot;}void Update(int o) {t[o].sz = 1; t[o].sum = t[o].v;t[o].sz += ( ls(o) ? t[ls(o)].sz : 0 ) + ( rs(o) ? t[rs(o)].sz : 0 );t[o].sum += ( ls(o) ? t[ls(o)].sum : 0) + ( rs(o) ? t[rs(o)].sum : 0 );}void Apply1(int o) { t[o].sum = t[o].v = 0; t[o].zero = 1; t[o].tag = 0; }void Apply2(int o, ll V) { t[o].sum += t[o].sz * V; t[o].v += V; t[o].tag += V; }void Push(int o) {if(t[o].zero) {if(ls(o)) Apply1(ls(o));if(rs(o)) Apply1(rs(o));t[o].zero = 0;}if(t[o].tag) {if(ls(o)) Apply2(ls(o), t[o].tag);if(rs(o)) Apply2(rs(o), t[o].tag);t[o].tag = 0;}}int Merge(int x, int y) {if(!x || !y) return x | y;Push(x); Push(y);if(t[x].Rnd < t[y].Rnd) {int k = Merge(t[x].rs, y);t[k].fa = x;t[x].rs = k;Update(x);return x;}else {int k = Merge(x, t[y].ls);t[k].fa = y;t[y].ls = k;Update(y);return y;}}P Split(int o, int k) {if(!o) return mk(0, 0);Push(o);if(t[ls(o)].sz == k) {int Ls = ls(o);ls(o) = 0; t[Ls].fa = 0;Update(o);return mk(Ls, o);}if(t[ls(o)].sz + 1 == k) {int Rs = rs(o);rs(o) = 0; t[Rs].fa = 0;Update(o);return mk(o, Rs);}if(t[ls(o)].sz < k) {P tmp = Split(rs(o), k - t[ls(o)].sz - 1);int Rs = t[o].rs; t[Rs].fa = 0;t[o].rs = tmp.fi;t[tmp.fi].fa = o;Update(o);return mk(o, tmp.se);}P tmp = Split(ls(o), k);int Ls = t[o].ls; t[Ls].fa = 0;t[o].ls = tmp.se;t[tmp.se].fa = o;Update(o);return mk(tmp.fi, o);}P Findroot(int o) {int las = 0, Rnk = ls(o) ? t[ls(o)].sz : 0;while(pa(o)) {if(rs(pa(o)) == o) Rnk += t[ls(pa(o))].sz + 1;o = pa(o);}return mk(o, Rnk);}void Insert(ll V) {int o = Newnode(V);rt = Merge(rt, o);}void Cut(int x, int y) {int L1 = in[x], R1 = out[x], L2 = in[y], R2 = out[y];if(L1 <= L2 && R2 <= R1) swap(x, y), swap(L1, L2), swap(R1, R2);P L = Findroot(L1), R = Findroot(R1);P tmp1 = Split(L.fi, R.se + 1);P tmp2 = Split(tmp1.fi, L.se);Merge(tmp2.fi, tmp1.se);}void Link(int x, int y) {int L1 = in[x], R1 = out[x], L2 = in[y], R2 = out[y];if(L1 <= L2 && R2 <= R1) swap(x, y), swap(L1, L2), swap(R1, R2);int o = Findroot(L1).fi;P R = Findroot(R2);P tmp1 = Split(R.fi, R.se + 1);P tmp2 = Split(tmp1.fi, R.se);int p = Merge(tmp2.fi, o);int k = Merge(p, tmp2.se);Merge(k, tmp1.se);}
}void Dfs(int o, int fa) {in[o] = ++clck; t.push_back(o);for(int i = 0; i < (int)G[o].size(); i++) {int to = G[o][i];if(to == fa) continue;Dfs(to, o);}out[o] = ++clck; t.push_back(o);
}int main() {Treap::rt = Treap::tot = 0;scanf("%d%d%d", &ID, &n, &m);if(ID == 4 || ID == 5) return puts("nmdwsm"), 0;for(int i = 1, u, v; i < n; i++) {scanf("%d%d", &u, &v);E[i] = (edge) { u, v };G[u].push_back(v); G[v].push_back(u);}scanf("%s", s + 1);for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);Dfs(1, 1);for(int i = 0; i < (int)t.size(); i++) Treap::Insert(a[t[i]]);for(int i = 1; i < n; i++) {if(s[i] == '0') continue;Treap::Cut(E[i].u, E[i].v);}while(m--) {int tp;scanf("%d", &tp);if(tp == 1) {int x;scanf("%d", &x);if(s[x] == '0') s[x] = '1', Treap::Cut(E[x].u, E[x].v);else s[x] = '0', Treap::Link(E[x].u, E[x].v);}else if(tp == 2) {int x; ll y;scanf("%d%lld", &x, &y);P p = Treap::Findroot(in[x]);Treap::Apply2(p.fi, y);}else if(tp == 3) {int x;scanf("%d", &x);P p = Treap::Findroot(in[x]);ll Sum = Treap::t[p.fi].sum;Sum >>= 1;Treap::Apply1(p.fi);P tmp1 = Treap::Split(p.fi, p.se + 1);P tmp2 = Treap::Split(tmp1.fi, p.se);Treap::t[tmp2.se].sum = Treap::t[tmp2.se].v = Sum;Treap::Merge(Treap::Merge(tmp2.fi, tmp2.se), tmp1.se);p = Treap::Findroot(out[x]);tmp1 = Treap::Split(p.fi, p.se + 1);tmp2 = Treap::Split(tmp1.fi, p.se);Treap::t[tmp2.se].sum = Treap::t[tmp2.se].v = Sum;Treap::Merge(Treap::Merge(tmp2.fi, tmp2.se), tmp1.se);}else if(tp == 4) {int x;scanf("%d", &x);P p = Treap::Findroot(in[x]);P tmp1 = Treap::Split(p.fi, p.se + 1);P tmp2 = Treap::Split(tmp1.fi, p.se);ll ans = Treap::t[tmp2.se].v;printf("%lld\n", ans);Treap::Merge(Treap::Merge(tmp2.fi, tmp2.se), tmp1.se);}else if(tp == 5) {int x;scanf("%d", &x);P p = Treap::Findroot(in[x]);ll ans = Treap::t[p.fi].sum;ans >>= 1;printf("%lld\n", ans);}else if(tp == 6) {int x;scanf("%d", &x);P p = Treap::Findroot(in[x]);Treap::Apply1(p.fi);}}return 0;
}