题目大意

给定两个n∗nn*n的矩阵A,BA,B，求一个字典序最小的排列aa满足将任意一个AiA_i换成BaiB_{a_i}后，矩阵AA仍然满秩。

Data Constraint
n≤300n\leq300

题解

假如我们知道了AiA_i可以被哪一个BB替换，就可以构出一个二分图，然后匈牙利算法跑出方案即可。
现在的问题是如何构图。
设存在矩阵CC，Ci,j≠0C_{i,j}\neq0表示BiB_i需要有AjA_j来表出。那么CC满足C∗A=BC*A=B，两边同时左乘A−1A^{-1}，C=B∗A−1C=B*A^{-1}。

矩阵求逆

如何对矩阵求逆？
考虑构造一个伴随矩阵，初始时伴随矩阵是单位矩阵。对原矩阵进行高斯消元，同时对伴随矩阵做同样的变换。将原矩阵消成单位矩阵后，伴随矩阵就是原矩阵的逆矩阵。

时间复杂度：O(n3)O(n^3)

如何求字典序最小的方案？先跑一遍匈牙利，求出一个初始解，然后跑第二遍匈牙利，贪心地匹配尽可能小的，强制每次只能调整比自己大的匹配。

时间复杂度：O(n3)O(n^3)

SRC

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std ;#define N 300 + 10
#define M 90000 + 10
const double eps = 1e-6 ;double a[N][N] , inv[N][N] , b[N][N] , c[N][N] ;
int from[M] , flag[M] , f[N][N] ;
int n , ans ;bool GetInv() {for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {int p = -1 ;for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ )if ( fabs( a[i][j] - 0 ) > eps ) { p = i ; break ; }if ( p < 0 ) continue ;double d = a[i][p] ;for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) {a[i][j] /= d ;inv[i][j] /= d ;}for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) {if ( i == j || fabs( a[j][p] - 0 ) <= eps ) continue ;double d = a[j][p] ;for (int k = 1 ; k <= n ; k ++ ) {a[j][k] -= d * a[i][k] ;inv[j][k] -= d * inv[i][k] ;}}}for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) if ( !a[i][i] ) return 0 ;return 1 ;
}int DFS( int x , int k ) {for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {if ( !f[x][i] || flag[i] == k ) continue ;flag[i] = k ;if ( !from[i] || DFS( from[i] , k ) ) {from[i] = x ;return 1 ;}}return 0 ;
}int DFS2( int x , int k ) {for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {if ( !f[x][i] || flag[i] == k ) continue ;flag[i] = k ;if ( from[i] == k || ( from[i] > k && DFS2( from[i] , k ) ) ) {from[i] = x ;return 1 ;}}return 0 ;
}int main() {scanf( "%d" , &n ) ;for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) scanf( "%lf" , &a[i][j] ) ;inv[i][i] = 1 ;}if ( !GetInv() ) { printf( "NIE\n" ) ; return 0 ; }for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) {scanf( "%lf" , &b[i][j] ) ;}}for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) {for (int k = 1 ; k <= n ; k ++ ) {c[i][j] += b[i][k] * inv[k][j] ;}}}for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) {if ( fabs( c[j][i] - 0 ) > eps ) f[i][j] = 1 ;}}for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans += DFS( i , i ) ;if ( ans < n ) { printf( "NIE\n" ) ; return 0 ; }memset( flag , 0 , sizeof(flag) ) ;for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ )ans = DFS2( i , i ) ;printf( "TAK\n" ) ;for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) {if ( from[j] == i ) { printf( "%d\n" , j ) ; break ; }}}return 0 ;
}

以上.

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