第十章分治算法(大数相乘)

分治算法：分治算法由两部分组成，分和治，分是使问题规模变小，递归解决较小的问题，治是从子问题的解中构建原问题的解。
传统上，在正文中至少含有两个递归调用的例程叫做分治算法，而正文中只含有一个递归调用的例程不是分治算法。
我们一般坚持子问题是不相交的。
在前面写的归并排序和快速排序就是分治算法的一种例程。
所有有效的分治算法都是把问题分成一些子问题，每个子问题都是原问题的一部分，然后进行某些附加的工作，以算出最后的答案。

分治算法解决大整数相乘。
如果X = 61438521，而Y = 94736407，那么XY = 5820464730934047
如果把x和y拆成两半，分别由最高几位和最低几位数字组成。
XL = 6143，XR = 8521，YL=9473，YR = 6407.

则 X = XL10⁴ +XR，Y = YL10⁴ + YR。
则 XY = XLYL10⁸ + YL10⁴XR + XL10⁴YR + XRYR
则 XY = XLYL10⁸ + (XRYL+XLYR)10⁴+ XRYR
则 XY = XLYL*10⁸ + ((XL+XR)(YR+YL)-XLYL-XRYR)10⁴+ XRYR
则 XY可以由3次乘法组成，即 XLYL，XRYR，（XL+XR）(YR+YL)
它们每一个都是原来问题大小的一半(N/2)，10⁸和10⁴作乘法实际就是添加一些0。

核心算法

string multiply(string &x, string &y) {bool flag = false;                       //最终结果的正负号,0为正号，1为负号if (x.at(0) == '-' && y.at(0) !='-' || x.at(0) != '-' && y.at(0) == '-') {//一正一负，最终符号为负flag = true;}if (x.at(0) == '-') {      //去除负号x = x.substr(1);}if (y.at(0) == '-') {//去除负号y = y.substr(1);}int init_len = 4;if (x.length() > 2 || y.length() > 2) { // 长度大于2时，最小长度应该为4，故初始值为4if (x.length() >= y.length()) {while (init_len < x.length())init_len *= 2; //计算两个数最终的长度//添加前置0if (x.length() != init_len) {addPreZero(x, init_len - x.length());}addPreZero(y, init_len - y.length());}else {while (init_len < y.length())init_len *= 2;//添加前置0addPreZero(x, init_len - x.length());if (y.length() != init_len) {addPreZero(y, init_len - y.length());}}}int n = x.length();string result;if (n <= 2) { //长度为2时，结束递归int x1 = strToInt(x);int y1 = strToInt(y);int z = x1 * y1;result = intToStr(z);}else {string xl, xr, yl, yr;xl = x.substr(0, n / 2);xr = x.substr(n / 2, n);yl = y.substr(0, n / 2);yr = y.substr(n / 2, n);string xlyl = multiply(xl, yl);string xryr = multiply(xr, yr);string xlAddXr = add(xl, xr);string ylAddYr = add(yl, yr);string t = add(xlyl, xryr);string t1 = multiply(xlAddXr, ylAddYr);string t2 = subtract(t1, t);addLastZero(t2, n / 2);addLastZero(xlyl, n);result = add(add(t2, xlyl), xryr);}if (flag) { //结果为负数result.insert(0, "-");}return result;
}

其它函数

#include <iostream>
#include <malloc.h>
#include <algorithm>
#include <sstream>
using namespace std;int strToInt(string k) {//string字符串变整数型int back;stringstream instr(k);instr >> back;return back;
}
string intToStr(int intValue) {string result;stringstream stream;stream << intValue;//将int输入流stream >> result;//从stream中抽取前面放入的int值return result;
}
void removePreZero(string &str) {//去掉前置0,需要考虑只有一个0或者全部是0的情况if (str.length() == 1)return;int k = 0;for (int i = 0; i < str.length(); i++) {if (str.at(i) == '0') {k++;}else {break;}}if (k == str.length())str = "0";else {str = str.substr(k);}
}
//大数相加，不考虑前置0的情况
string add(string x, string y) {string result = "";//去掉前置0removePreZero(x);removePreZero(y);//反转字符串方便相加reverse(x.begin(), x.end());reverse(y.begin(), y.end());for (int i = 0, j = 0; j || i < max(y.length(), x.length()); i++) {int t = j;if (i < x.length())t += (x.at(i) - '0');if (i < y.length())t += (y.at(i) - '0');int q = t % 10;result.insert(0, intToStr(q));j = t / 10;}return result;
}
string subtract(string &x, string &y) {string result = "";//去掉前置0removePreZero(x);removePreZero(y);int len_x = x.length();int len_y = y.length();int len = len_x > len_y ? len_x : len_y;int *tempResult = (int *)malloc(sizeof(int) * len);string sign;if (len_x > len_y) {// x - y为正数sign = "+";}else if (len_x < len_y) { //x-y为负数sign = "-";}else { //长度相同则判断各位的大小int i;for (i = 0; i < len_x; i++) {if (x.at(i) == y.at(i))continue;else if (x.at(i) > y.at(i)) {sign = "+";break;}else {sign = "-";break;}}//说明没有break，说明x == yif (i == len_x) {return "0";}}//反转字符串方便相减reverse(x.begin(), x.end());reverse(y.begin(), y.end());int q = 0;//若x大，则直接相减，否则用y-x，并且最终加上负号for (int i = 0; i < len; i++) {int aint = i < len_x ? x.at(i) - '0' : 0;int bint = i < len_y ? y.at(i) - '0' : 0;if (sign.at(0) == '+') {tempResult[q++] = aint - bint;}else {tempResult[q++] = bint - aint;}}for (int i = 0; i < q; i++) {if (tempResult[i] < 0) {tempResult[i + 1] -= 1;tempResult[i] += 10;}}q--;while (tempResult[q] == 0)q--;for (int i = q; i >= 0; i--) {result += intToStr(tempResult[i]);}if (sign.at(0) == '-')return sign + result;return result;
}
//添加前置0
void addPreZero(string &str, int zero_num) {for (int i = 0; i < zero_num; i++)str.insert(0, "0");
}
//添加后置0
void addLastZero(string &str, int zero_num) {for (int i = 0; i < zero_num; i++)str += "0";
}

第十章分治算法(大数相乘)相关推荐

POJ1001 求高精度幂（分治高精度大数相乘）
总体思路: 高精度大数乘法需要记录小数点位置需要使用大数相乘只是考验能否使用大数相乘大整数乘法可以模拟乘法运算写也可以使用分治写法分治可以优化XY=AC2^N [(A-B)(D-C)+AC ...
python实现循环赛日程表问题的算法_循环赛日程表的分治算法实现实验报告gxl.doc...
循环赛日程表的分治算法实现实验报告gxl PAGE PAGE 2 深圳大学实验报告课程名称: 算法设计与分析实验项目名称: 分治算法 --矩阵相乘的Strassen算法及时间复杂性分 ...
python实现循环赛日程表问题的算法_循环赛日程表的分治算法实现实验报告_gxl.doc...
循环赛日程表的分治算法实现实验报告_gxl 深圳大学实验报告课程名称: 算法设计与分析实验项目名称: 分治算法 --矩阵相乘的Strassen算法及时间复杂性分析或--循环赛日程表 ...
大数相乘（C语言，分治算法）
问题: 由于编程语言提供的基本数值数据类型表示的数值范围有限,不能满足较大规模的高精度数值计算,因此需要利用其他方法实现高精度数值的计算,于是产生了大数运算.大数运算主要有加.减.乘三种方法. 下面就 ...
斐波那契数列取模（大数）分治算法
斐波那契数列取模(大数)分治算法这是算法课程上完分之策略后老师留的一道题目: 菲波那契数列如下:1,1,2,3,5,8,13,21,34......其中a[1] = 1, a[2] = 1, a[n ...
分治算法解大整数相乘问题
1 问题有两个n位大整数XXX,YYY,它们数值之分大,如1e10001e10001e1000.现在要计算它们的乘积XYXYXY. 2 分析 2.1 传统方法逐位相乘.错位相加,时间复杂度O(n2 ...
c语言中大数相乘的方法,C++实现大数相乘算法
本文实例为大家分享了C++实现大数相乘的具体代码,供大家参考,具体内容如下首先说一下乘法计算的算法:同样是模拟人工计算时的方法. 从低位向高位乘,在竖式计算中,我们是将乘数第一位与被乘数的每一位相乘 ...
php大数相乘,简单的大数相乘算法
大数相乘最直接的算法就是模拟小学学到的竖式乘法,可以使用数组或者字符串来存储乘数和被乘数,php代码实现如下: /** * 大数相乘代码 */ function multiply($str1,$str ...
算法题-大数相乘问题
今天在网上看到一个大数相乘的问题,题目是这样的:输入两个整数,要求输出这两个数的乘积.输入的数字可能超过计算机内整形数据的存储范围. 分析: 由于数字无法用一个整形变量存储,很自然的想到用字符串来表示 ...

第十章分治算法(大数相乘)

第十章分治算法(大数相乘)相关推荐

最新文章

热门文章