锂电池是目前在各个能源密集型行业中用途广泛，例如新能源汽车、电力微网、航空航天等。电池模型的建立对研究电池的特性、SOC(state-of-charge)估计、SOH(state-of-health)估计、BMS算法开发以及电池系统的快速实时仿真有重要的意义。

等效电路建模，由于其简单适用性，常常应用在在系统级仿真和控制算法设计过程中。通过实验数据采集、等效电路模型建立和数学优化技术，用相对简单的RC等效电路可以模拟一个电芯。若干电芯模型通过不同类型的并串联方法，形成电池包模型。在电池包模型内，也可加入热电效应仿真。

在上图中，10 个电芯以 10S1P 的形式形成一个电池包(此处工具为 Simscape)。蓝色的线表示电线连接，橙色的表示热交换连接。在图中电芯之间的热交换形式为热对流。

电芯的模型为下图所示：R0 表示内阻，R1C1 表示一对 RC，左边的电压源表示开路电压(Em)。由于只有一对 RC，所以这是一阶等效电路。

上图表明，通过在一个不断充放电的工况下的仿真，我们发现电芯 5 和电芯 6 有较高的温度，而电芯 1 和电芯 10 温度较低。原因是在串联结构中，位置处于中间的电芯散热较差，而处于边缘的电芯散热较好。

锂电池的型号多种多样，比如镍钴锰三元材料 (NMC)、磷酸铁锂 (LFP) 等。每种电池的化学特征决定了各自不同的等效电路特征。等效电路的特征由如下两个要点决定：RC 的阶数

R0 、RC 和 Em 的数值

下一节中我们将讨论如何获取(估计)上述两个要点数值。

锂电池的老化对模型的影响也是电池模型研究的方向之一。找出模型的拓扑结构和模型参数的改变趋势，对于 SOH 的估计有很强的现实意义。本文将在第四章中讨论电池老化对电池模型的影响。

被动均衡也是电池管理系统(BMS)的研究热点之一，文末我们将给出一个被动均衡的示例供读者参考。

◆ ◆ ◆ ◆

RC 等效电路的参数设计

脉冲放电法

RC 等效电路有物理意义的前提是电路中所有 RC 对和 R0 都必须完整地“经历过”一个放电周期。 右下图所示的 RC 等效模型中，R0 表示一个放电循环中的“立即响应”，RC 对表示一个放电循环中的“滞后相应”。左下图表示脉冲放电以及开路电压(Em)的回稳过程。 可以看到，在一个脉冲放电后，电芯通过“立即相应”和“滞后响应”再静置一段时间后得到的稳定的开路电压。通常来说静置时间为 1 小时以上为佳。

脉冲放电的一个脉冲使得 10%(一个比较合适的百分比)的 SOC 下降，静置等待开路电压回稳。此处，10% SOC 的下降为一个估计值，假设一个电池容量为 100mAH，那么我们放电 10% 即 10mAH，如果放电倍率为 1C，分 10 次放完。那么单个脉冲放电时间为 1 小时 * 10% = 6 分钟。

如此重复多次(避免 SOC 为极限低点而损害电池)，得到完整的脉冲放电曲线，我们就可以得出 RC 对、R0 和 Em 估计所需要的实验数据。

在某一温度下完整的放电曲线

由于锂电池对温度敏感，上述放电实验可以在多个温度下进行。加入温度的影响后，建模的任务就是要根据多个温度下放电数据，估计出 R0，RC 和 Em。它们在模型的表现形式均是一个二维的 Look-Up Table。

R0, R1, C1, Em = f(SoC, T)

电池模型参数估计的步骤

步骤一：确定RC 阶数

很多人理解为，RC 阶数越多越准确。这个是错误的观点，因为过多的 RC 阶数会让数学优化过程变得计算量过大；也有可能会造成过拟合现象，即将数据中的噪声数据也拟合出来。这样的数学模型没有意义。

正确的 RC 阶数取决于：放电静置回稳后的那段指数曲线。

由于 RC 之积 Tau 的单位为时间。线段的长度为时间。该线段的函数表达式为：

如果为一个三阶函数，我们可以用 MATLAB 的曲线拟合工具箱去拟合：

y = 1c - a*exp(-b*x) - d*exp(-e*x) - f*exp(-g*x)

有了这个基本思路，我们就可以从一阶开始逐步用 MATLAB 做曲线拟合，直至符合要求为止。

步骤二：构建参数估计模型(基于某一温度)

根据上一小节的原则确定模型阶数以后，我们可以用 Simulink/Simscape 来构建电芯参数估计模型。此处 C1、R1、R0、Em 都是基于 SOC 的 Look-Up Table。

步骤三：参数估计和验证

参数估计的输入为某一温度下的放电数据，输出为 Em、RC、R0 等参数的 Look-Up Table(一维)。

Simulink Design Optimization 可以根据输入数据，选择不同的算法进行参数估计，目的是仿真曲线和实验曲线误差最小。

参数估计有几种优化算法可选：Gradient descent

Non-linear least squares

Pattern search

Simplex search

其中 Non-linear least squares 比较常用，但容易找到非全局优化点。Pattern search 为全局优化，适合初学者。

在参数估计结束之后，可以做实际工况数据对模型的验证工作。所谓验证就是用实际的电池运行数据(同一温度下)来校验得到的等效模型。如果误差很小，那么表示该模型真实可用。例如：下图的黄色(仿真)和紫色(实测)的数据基本一致。

很多人抱怨在参数估计中由于计算量过大，导致运行速度很慢，这里给出两个小技巧可显著加快估计速度：选择并行多核加速

打开“Fast Restart”开关

步骤四：在多个温度下建立电芯模型

刚才我们的等效电路模型中，RC、R0、Em 等经过参数估计，得出的实际上是一维的 Look-Up Table(维度为SOC)，那么我们可以通过设计多个温度下(例如 5、20、40 摄氏度)的：脉冲放电实验

参数估计

将“温度”这个纬度加入到等效电路中，最终形成二维的 Look-Up Table。即完整的具有温度和 SOC 属性的电芯模型。

R0, R1, C1, Em = f(SoC, T)

步骤五：形成电池包模型

在单个电芯模型建立完成后，可通过不同的串并联线路将电芯形成电池包模型。电池包模型可以用来仿真热效应、电芯均衡或者其他应用场景。

◆ ◆ ◆ ◆

电池老化对电池模型的影响

老化对电池的影响不可忽视，老化的影响应该被反映到电池模型。为了研究这一课题，MathWorks 和其他厂商的工程师设计了为期 13 个月的老化实验：

为了加速老化过程，工程师选择在 40 度的温度下做 UDDS 的驾驶循环测试，每隔 15 星期记录下变化的数据，并做等效模型的建立和参数估计，试图通过这一过程发现模型拓扑和参数变化的规律。

电路拓扑的变化

0 周时候的电路拓扑

15、45 周时候的电路拓扑

实验显示：在电池未老化的时候(0 周)，用 3 阶等效电路模型可以反映电池特性。

在电池老化后期，用 5 阶等效电路模型可以反映电池特性。

电池参数的变化

实验显示，电池老化对等效电路参数的影响为：开路电压不变

R0 变化很大

RC 对数增加

Tau 增加(趋于稳态时间增长)

BMS 设计者如果能在控制器中建立一个内部的电池模型，通过参数规律和数值的估计，将有助于 SOH 的估计策略。

◆ ◆ ◆ ◆

被动均衡模型示例

均衡策略是 BMS 的一部分，目前实际应用较多的是被动均衡策略。

上图给出了一个被动均衡的示例模型，三个电芯组成的电池包在状态机(Stateflow)的逻辑驱动下控制 MOSFET 电路开关对各个电芯进行电压均衡。