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常微分⽅程

1.概念，2.⼀阶微分⽅程求解 3.⾼阶微分⽅程求解 4.应⽤题

1.概念(7个概念，了解即可)

微分⽅程—含有未知函数的导数或者微分的⽅程

常微分⽅程—未知函数为⼀元函数的微分⽅程

偏微分⽅程—未知函数为多元函数的微分⽅程

微分⽅程的阶—未知函数的导数的最⾼阶数为⽅程的阶数

微分⽅程的解—将函数代⼊⽅程，为恒等式，则该函数为解

微分⽅程的通解与特解—通解—解中独⽴常数的个数等于⽅程的阶数，特解—解中没有任何常数

初始条件(定解条件)—确定通解中的常数的条件

2.⼀阶微分⽅程求解

⼀阶⽅程(4个)

1.可分离变量型(两边直接积分)

2.可化成可分离变量型

形如y'=f(ax+by+c)型 (令u=ax+by+c,相应对x求导，则化成可分离变量)

⻬次型—形如y'=f(y/x) (令p=y/x，相应求导，则可化为分离变量型)

Note ：1.对于式⼦中出现lnu中u不知正负，则要带上绝对值，除过⼀阶线性

2.对于⼀阶线性⽅程，不⽤带绝对值(18版18讲P217有分析)

3.所求的通解可以不是全部解(线性：通解=全部解，⾮线性：通解不等于全部解)

4.在求通解中，⼀定要带上对独⽴常数C的限定

5.若出现不属于⼀阶⽅程四种类型，则考虑调换x ，y的地位

6.能写成显示解就写要写成显示解

3.⼀阶线性⽅程(要掌握推导解的公式，利⽤求导公式逆⽤法)—形如y'+p(x)y=q(x)

4.伯努利⽅程(这⾥可以将其化成⼀阶线性，利⽤恒等变形中三种⽅法中换元)

形如y'+p(x)y=q(x)yn(令y1-n=u ，相应求导，化成⼀阶线性)

5.全微分⽅程

利⽤积分与路径⽆关的性质，⽤折线法来求原函数=C

⼆阶可降阶⽅程

1.形如y''=f(x,y') 缺y型——将y斩草除根(令y'=u,y''=u',化成了⼀阶)

2.形如y''=f(y,y')缺x型——将x斩尽杀绝(令y'=u,y'=udu/dy,化成⼀阶)

要注意两种类型不同的处理⽅法

Note ：还有⼀种可降阶的n阶⽅程，连续求导即可

3.⾼阶微分微分⽅程的求解(2～4阶)

⼆阶线性微分⽅程的概念(详⻅18讲P218)

1.⻬次与⾮⻬次

2.变系数与常系数

注意若真的出现了变系数⼆阶，要想到换元，化成⼆阶(或者是欧拉⽅程)

解的结构与解的性质(各2个)(详⻅⾼数18讲P218)

1.⼆阶常系数⻬次线性微分⽅程的通解结构(两个线性⽆关的解(通俗理解就是相除不为常数)可

以构成起通解)

2.⾮⻬次的解的结构——⻬次的特解+⾮⻬次的特解

3.两个⾮⻬次的特解相加为⼀个全新⾮⻬次的特解(叠加原理)

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4.两个⾮⻬次的特解相减为其⻬次的⼀个解

⼆阶常系数⻬次线性微分⽅程求解(背公式)

⾮⻬次的特解(背公式)

n阶常系数线性⻬次微分⽅程求解(背公式)

注意特征⽅程的特征根各种情况(四种情况)

4.欧拉⽅程(仅数⼀)(18讲259)

形如x2y''+pxy'+qy=f(x)

换元：当x⼤于0

当x⼩于0

4.应⽤题：

1.背景公平——信息给予

2.翻译成数学表达式

Note ：注意⽐例系数应是正号，或负号，应根据题意主动添上

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