30.微分方程（包含导数的方程）

微分方程对于描述现实中量的变化十分有用

30.1 可分离变量的一阶微分方程

能够把一阶微分方程中所有关于 y 的部分（包括dy）放在一边，所有关于 x 的部分（包括dx）放在另一边，则该微分方程被称为可分离变量的

例子：

30.2 一阶线性微分方程

形如以下形式的微分方程为一阶线性微分方程

30.2.1 求解方法

求解一阶线性微分方程的方法

30.2.2 积分因子

例1：

本例中 e2x3e^{2x^3}e2x3 为积分因子

例2：

30.3 常系数微分方程

nnn 阶（导数的阶数）常系数（导数前的系数）微分方程

30.3.1 一阶常系数线性方程

例如：

30.3.2 二阶常系数线性方程

例如：

30.3.3 解一阶齐次方程

齐次方程：来自百度百科

等式左侧是关于y的，等式右侧没有关于 xxx 的部分，这样的方程称为 “齐次” 的

例子：

30.3.4 解二阶齐次方程

求解方法：根据原齐次方程写出特征二次方程，求解出根，根据所得根的个数情况，写出相应的齐次解

30.3.4.1 特征二次方程

若有两个不同实根 α\alphaα 和 β\betaβ，解为：
y=Aeαx+Beβxy=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x} y=Aeαx+Beβx

证明：
直接将 y=eαxy=e^{\alpha x}y=eαx 代入方程，检验是否使得方程为0，如果满足则为该方程的根，其他类似

例子：

---

若只有一个（双重）实根 α\alphaα，解为：
y=Aeαx+Bxeαxy=Ae^{\alpha x}+Bxe^{\alpha x} y=Aeαx+Bxeαx
证明：
直接将 y=xeαxy=xe^{\alpha x}y=xeαx 代入方程，检验是否使得方程为0，如果满足则为该方程的根

例子：

---

若有两个复根，它们将是共轭的，即其形为 α±iβ\alpha\pm i\betaα±iβ，解为：
y=eαx(Acos(βx)+Bsin(βx))y=e^{\alpha x}(Acos(\beta x)+Bsin(\beta x)) y=eαx(Acos(βx)+Bsin(βx))

例子：

30.3.5 非齐次方程和特解

等式左侧是关于y的，等式右侧含有关于 xxx 的部分，这样的方程称为 “非齐次” 的

求解方法：

例子：

30.3.6 求特解

一阶非齐次方程 y′+ay=f(x)y'+ay=f(x)y′+ay=f(x)
二阶非齐次方程 ay′′+by′+cy=f(x)ay''+by'+cy=f(x)ay′′+by′+cy=f(x)

根据等式右侧f(x)f(x)f(x)的形式，直接写出特解 ypy_pyp​ 的形式，后求出 yp′、yp′′y'_p、y''_pyp′​、yp′′​，将这三个代入原非齐次方程，观察是否等于 f(x)f(x)f(x)，如果不满足，原因可能是特解和齐次解冲突，解决办法下面给出

例子：

30.3.7 解决特解 ypy_pyp​ 和 齐次解 yHy_HyH​ 间的冲突

这里冲突的意思是：齐次解 yHy_HyH​ 中已经包含了特解 ypy_pyp​
解决：令特解 ypy_pyp​ 乘以 xxx 或 x2x^2x2

例子：

30.3.8 IVP（初值问题）

例子：

每当我们为一个微分方程 y′=ƒ(x,y)y ' = ƒ(x, y)y′=ƒ(x,y) 的解指定一个初始条件 y(x0)=y0y(x0) = y0y(x0)=y0时，要求解曲线(解的图像)通过点 (x0,y0)(x0, y0)(x0,y0)，其斜率为 ƒ(x0,y0)ƒ(x0, y0)ƒ(x0,y0)
我们可以通过绘制斜率 ƒ(x,y)ƒ(x, y)ƒ(x,y) 在构成ƒ域的木平面区域内选定点 (x,y)(x, y)(x,y) 的短线段来绘制这些斜率。每一段的斜率与解曲线的斜率相同，所以它与曲线相切。我们将这种图叫作“斜率场”
我们可以看到这些线段如何表示解曲线在每一点经过的方向。

例1：

例2：

欧拉方法

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