第二章 计算机的运算方法

  • 一、数制、编码和3种校验码
    • 1. 数制
    • 2. 进制转换
      • 2.1 任意进制十进制
        • 2.1.1 任何进制转为十进制
        • 2.1.2 十进制转为任何进制
      • 2.2 2的次方之间的转换
        • 2.2.1 二进制转为四、八、十六进制
        • 2.2.2 四、八、十六进制转二进制
      • 2.3 真值和机器数
    • 3. BCD码（Binary-Coded Decimal）
      • 3.1 8421码的映射关系（BCD码的一种映射方案：8421码）
      • 3.2 余3码=8421码+0011
      • 3.3 2421码：改变权值定义
    • 4.字符与字符串
      • 4.1 ASCII码
      • 4.2 字符串
      • 4.3 GB2312-80：汉字+各种符号共7445个
    • 5. 校验原理
      • 5.1 校验原理简介
      • 5.2 奇偶校验
      • 5.3 海明校验码（详见：计算机网络）
      • 5.4 循环冗余校验码
  • 二、定点数的表示与运算
    • 1. 定点数的表示
      • 1.1 无符号数
      • 1.2 有符号数
        • 1.2.1 定点小数
        • 1.2.2 定点整数
        • 1.2.3 原码
        • 1.2.4 补码
        • 1.2.5 反码
        • 1.2.6 原补反相互转换
        • 1.2.7 移码
    • 2. 定点数的运算
      • 2.1 移位运算
        • 2.1.1 机器数采用无符号数：逻辑移位
        • 2.1.2 机器数采用有符号数：算数移位
          • 2.1.2.1 原码算数移位
          • 2.1.2.2 补码算数移位
          • 2.1.2.3 反码算数移位
          • 2.1.2.4 原、补、反移位总结
        • 2.1.3 循环移位
      • 2.2 加减运算
      • 2.3 溢出判断
        • 2.3.1 正溢出（上溢出）和负溢出（下溢出）
        • 2.3.2 判断方法1：采用一位符号位
        • 2.3.3 判断方法2：采用一位符号位，根据数据位进位情况判断溢出
        • 2.3.4 判断方法3：采用双符号位（在计算机的设计中常使用）
          • 2.3.3.1 双符号位
      • 2.4 乘法运算
        • 2.4.1 原码一位乘法
        • 2.4.2 补码一位运算（Booth算法）
        • 2.4.3 总结
      • 2.5 强制类型转换
        • 2.5.1 无符号数与有符号数转换
        • 2.5.2 长数据类型转化为短数据类型
        • 2.5.3 短数据类型转化为长数据类型
      • 2.6 除法运算
        • 2.6.1 原码恢复余数法
        • 2.5.2 不恢复余数法（原码加减交替法）
        • 2.5.2 补码加减交替法
        • 2.5.4 除法运算总结回顾
  • 三、浮点数的表示与运算
    • 1. 浮点数的表示
      • 1.1 基本格式
      • 1.2 规格化
        • 1.2.1 左规
        • 1.2.2 右规
        • 1.2.3 规格化浮点数的特点
        • 1.2.4 表示范围
      • 1.3 IEEE754标准（重点）
        • 1.3.1 几个注意点：
        • 1.3.2 其他规定规定：
        • 1.3.3 IEEE754的取值范围（正常范围内分析，即：1<=E<=254）
    • 2. 浮点数的运算
      • 2.1 加减运算
        • 2.1.1 步骤：
      • 2.2 浮点数的强制类型转换
        • 2.2.1 无损类型转换
        • 2.2.2 无符号数和有符号数
        • 2.2.3 int<-->float的精度和表示范围
  • 四、算术逻辑单元设计
    • 1. ALU
      • 1.1 功能
      • 1.2 基本结构
      • 1.3 逻辑符号：
        • 1.3.1 基本逻辑符号：与、或、非
        • 1.3.2 复合逻辑符号：与非、或非、异或、同或
    • 2. 加法器（ALU核心部件）
      • 2.1 一位全加器
      • 2.2 串行加法器
      • 2.3 并行加法器
        • 2.3.1 进位产生原理
        • 2.3.2 串行进位
        • 2.3.3 并行进位
        • 2.3.4 ALU芯片的组织

一、数制、编码和3种校验码

1. 数制

  • 一进制
  • 二进制：计算机选择二进制，方便对应到物理器件的状态，高电平、低电平
  • 四进制
  • 八进制
  • 十进制
  • 十六进制
    基数：每个数位所用到的不同符号的个数

2. 进制转换

2.1 任意进制十进制

2.1.1 任何进制转为十进制

2.1.2 十进制转为任何进制

整数部分采用除基岛取余法，小数部分采用乘基顺曲整法

2.2 2的次方之间的转换

2.2.1 二进制转为四、八、十六进制

n位一组

2.2.2 四、八、十六进制转二进制

把每一位数转为对应的二进制。

2.3 真值和机器数

3. BCD码（Binary-Coded Decimal）

二进制：方便计算机处理
十进制：符合人类习惯
快速转换：一一对应

3.1 8421码的映射关系（BCD码的一种映射方案：8421码）

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001

进行加法时，如果有进位需要+0110进行修正
例如：
5+8=13 即 0101+1000=1101，应该+0110变成1 0011才能正确表示13

3.2 余3码=8421码+0011

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100

3.3 2421码：改变权值定义

前面五个数不准使用高位权值为2的位，后五个数必须使用高位权值为2的位，刚好头尾互补

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111

4.字符与字符串

4.1 ASCII码

数字、字母、符号—>共128个字符—>7位二进制编码—>ASCII码
数字、字母、符号与编码一一对应需要一个码表，即ASCII码表

项目 Value
可印刷字符 32-126
数字 48-57
大写字母 65-90
小写字母 97-122

4.2 字符串

多个ASCII码拼接

  • 大端模式：一个存储单元内先存储高位字节、后存储低位字节
  • 小端模式：一个存储单元内先存储低位字节、后存储高位字节

4.3 GB2312-80：汉字+各种符号共7445个

  • 区位码：94个区，每区94个位置
  • 国标码=区码+20H，位码+20H
  • 汉字机内码=国标码+80H

5. 校验原理

5.1 校验原理简介

5.2 奇偶校验

  • 奇校验码:整个校验码（有效信息位和校验位）中“1"的个数为奇数。
  • 偶校验码:整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数为偶数。

5.3 海明校验码（详见：计算机网络）

  1. 确定海明码的位数：2^k>=n+k+1
  2. 确定海明码的分布 2的n-1次方
  3. 求校验位的值
    Pn等于其二进制位为1的那一位的所有数异或的值
  4. 海明码的纠错原理
    Pn与对应的进行异或得出Sn，错误的位置就是Pn…P1

5.4 循环冗余校验码

K位信息码和R位校验码拼接而成，信息码在前，校验码在后
只需要掌握循环冗余校验码的求解过程即可
例如：设生成多项式为G(x)=x3+x2+1，信息码为101001，求对应的CRC码。

  1. 确认K、R，以及生成多项式独对应的二进制码
    K=信息码的长度=6
    R=生成多项式最高次幂=3
    校验码位数N=K+R=9
    生成多项式对应的二进制码：1101

  2. 移位
    信息码左移R位，低位补0

  3. 做模二除法

对移位后的信息码，用生成多项式进行模二除法，产生余数，余数就是校验码
模二除法要点（两个要点）
1.上商时直接看被减数的最高位，如果是1，则上1，如果是0，则上0
2.做减法时，直接做按位旳异或，不需要借位
模二除法示例：

  1. 检错和纠错

对传输过来的编码以生成多项式为除数进行模二除法，如果余数为0，代表没错
余数是多少，将它转化为十进制，则表示多少位出错
要达到这样的效果，需要选择好的生成多项式（生成多项式设计比较难）
2.2 定点数的表示与运算

二、定点数的表示与运算

1. 定点数的表示

1.1 无符号数

无符号数：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值
表示范围 0-2**n -1

1.2 有符号数

1.2.1 定点小数

小数点：隐含存储
有n位尾数的定点小数
表示范围 -（1-2**（-n))-1-2**(-n)

1.2.2 定点整数

表示范围 -(2n -1)-2n -1

1.2.3 原码

1.2.4 补码

一个数的补码：正数不变，负数符号位不变，数值位取反加1
已知一个数的补码，求该数的相反数的补码：（怎么证明？）
连同符号位一起取反加1

1.2.5 反码

正数：反码与原码相同
负数：原码符号位不变，数值部分按位取反（此规则同样适用于由反码转化为原码）

1.2.6 原补反相互转换

1.2.7 移码

移码就是在真值x上减去一个常数（偏置值），通常这个常数取2^n,
n是真值x的位数，不是移码的位数，是不加符号位的位数
移码与补码的取值范围相同
移码与补码可以转换

  • 当移码的符号位是0时，补码的符号位是1

  • 当移码的符号位是1时，补码的符号位是0
    原码补码相互转换

  • 原码加上2**n得到移码

  • 移码减去2**n得到原码

2. 定点数的运算

2.1 移位运算

r表示基数
右移n位：除以rn；左移n位：乘以rn

2.1.1 机器数采用无符号数：逻辑移位

  • 逻辑左移，高位丢失，低位填0
  • 逻辑右移，低位丢失，高位填0

2.1.2 机器数采用有符号数：算数移位

符号位不参与移位

2.1.2.1 原码算数移位
  • 左移、右移都补0
  • 左移丢1：出错；右移丢1，影响精度
2.1.2.2 补码算数移位
  • 正数：左移右移都补0
  • 负数：左移补0，右移补1
2.1.2.3 反码算数移位
  • 正数：左移右移都补0
  • 负数：左移右移都补1
2.1.2.4 原、补、反移位总结

2.1.3 循环移位

2.2 加减运算

  • [A+B]补=[A]补+[B]补
  • [A-B]补=[A]补+[-B]补
  • [-B]补与[B]补的关系，连同符号位按位取反后加一

2.3 溢出判断

2.3.1 正溢出（上溢出）和负溢出（下溢出）

  • 正溢出：两个正数相加变成了负数
  • 负溢出：两个负数相加变成了正数

2.3.2 判断方法1：采用一位符号位

2.3.3 判断方法2：采用一位符号位，根据数据位进位情况判断溢出

2.3.4 判断方法3：采用双符号位（在计算机的设计中常使用）

2.3.3.1 双符号位
  1. 采用双符号位的移位运算：低位符号位参与移位，高位符号位代表真正的符号
  2. 双符号位实际存储时，只存储一个符号位，这是因为存在存储器中的数字，先保证了它是一个正常的数字，不是溢出的情况
  3. 在需要运算的时候，是会把符号位并行地送到用于存储符号位的两个存储单元中

2.4 乘法运算

2.4.1 原码一位乘法

符号位与数值位分开处理，符号位通过异或运算获得结果

  • ACC：存放乘积高位
  • MQ：存放乘数、乘积低位
  • X：存放被乘数

ACC一开始为00000，MQ为y，y的最低位乘x所得的值更新进ACC，然后右移一位，以此类推直到y全部移除MQ
原码一位乘法示例（以纯小数为例）

2.4.2 补码一位运算（Booth算法）

ACC一开始为00000，MQ为y末尾加个0，根据MQ的最低两位判断操作，以此类推直到y全部移出在MQ的最后两位之内，求得的补码既是结果。

2.4.3 总结

2.5 强制类型转换

2.5.1 无符号数与有符号数转换

不改变数据内容，只改变解释方式
比如有符号数，1110 1111 0001 1111是[-4321]补

   short x=-4321;  //在计算机中存储的二进制为1110 1111 0001 1111unsigned short y=(unsigned short)x;  //在计算机中的存储内容不变还是1110 1111 0001 1111，但是解释方式发生改变解释为无符号数61215

2.5.2 长数据类型转化为短数据类型

高位截断，保留低位

2.5.3 短数据类型转化为长数据类型

填充高位 不会影响真值
写程序的时候，要避免前两种数据转换

2.6 除法运算

2.6.1 原码恢复余数法

计算机进行控制的时候，使用一个计数器记录左移和上商的次数
左移和上商的次数是固定的，中间需要恢复的次数是没有办法预计的
这样的话使用计数器来控制，会产生麻烦

  • ACC：被除数，余数
  • MQ：商
  • X：余数

n是数值的位数
先x+[-|y|]补，结果为正数上商1，反之上商0，若上商0需将结果加回[|y|]补，结果左移一位继续上述的操作，直至商满足要求
左移n次，上商n+1次
原码恢复余数法示例

2.5.2 不恢复余数法（原码加减交替法）

把恢复过程穿插到上商过程中
先x+[-|y|]补，结果为正数上商1，反之上商0，若上商1，将结果左移一位在加上[-|y|]补，若上商0，将结果左移一位在加上[|y|]补，继续上述的操作，直至商满足要求


2.5.2 补码加减交替法

2.5.4 除法运算总结回顾

三、浮点数的表示与运算

1. 浮点数的表示

1.1 基本格式

1.2 规格化

规定尾数的最高数位必须是一个有效值

1.2.1 左规

当浮点数运算的结果为非规格化时，要进行规格化处理
将尾数左移一位，阶码-1（基数为2时）

1.2.2 右规

当浮点数运算结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，
将尾数右移一位，阶码+1（基数为2时）

1.2.3 规格化浮点数的特点

1.2.4 表示范围

负数上溢和正数下溢可以当做机器0（阶码部分负溢出）
![.](https://img-blog.csdnimg.cn/20210111161840292.png)

1.3 IEEE754标准（重点）

1.3.1 几个注意点：

  • 阶码用移码表示，不需要阶符
  • 尾数中有一个隐藏表示的最高位1
  • 因为有这个隐藏的最高位1，故阶码用移码表示时的偏置量与一般的移码的偏置量不同
    需要一般移码的偏置量-1后，即可得到此标准的移码的偏置量即：标准的移码的偏置量=一般移码的偏置量-1
  • 临时浮点数基本不会考，看一下就行

1.3.2 其他规定规定：

通过这些规定，此标准就可以表示正无穷、负无穷、0还有NAN

1.3.3 IEEE754的取值范围（正常范围内分析，即：1<=E<=254）

2. 浮点数的运算

2.1 加减运算

2.1.1 步骤：

  1. 转换格式
  2. 对阶
  3. 尾数加减
  4. 规格化 规格化之前的溢出不是真溢出，规格化之后还溢出才是真溢出
  5. 舍入
    ”0“舍”1“入法
    恒置“1”法
  6. 溢出判断
    阶码上溢：需要进行中断处理
    阶码下溢：按机器0处理

示例：

2.2 浮点数的强制类型转换

2.2.1 无损类型转换

  • char -> int -> long -> double
  • float -> double

2.2.2 无符号数和有符号数

2.2.3 int<–>float的精度和表示范围

  • int -> float：可能损失精度
  • float -> int；可能溢出及损失精度

四、算术逻辑单元设计

1. ALU

运算器=PSW+X+ALU+ACC+MQ（运算器五大部件，ALU是核心部件）

1.1 功能

  • 算数运算：加、减、乘、除等
  • 逻辑运算：与、或、非、异或等
  • 辅助功能：移位、求补等

1.2 基本结构

逻辑结构示意图和实例结构示意图

1.3 逻辑符号：

1.3.1 基本逻辑符号：与、或、非

1.3.2 复合逻辑符号：与非、或非、异或、同或

2. 加法器（ALU核心部件）

2.1 一位全加器

2.2 串行加法器

2.3 并行加法器

2.3.1 进位产生原理

2.3.2 串行进位

速度没有比串行加法器高多少 也叫行波进位加法器

2.3.3 并行进位

单级先行进位方式，又称为组内进位、组间串行进位方式
多级先行进位方式，又称为组内并行、组间并行进位方式（层次化设计

2.3.4 ALU芯片的组织

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