高等数学之直角坐标二次积分转换成极坐标二次积分
1、首先这里先说下什么是极坐标?
在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度(有时也用r表示),θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系。
这里是百度百科的解释,其实就是记住一个就可以了(ρ,θ)就是极坐标。
我们这里先来讲下直角坐标的二次积分,首先是找到积分区域D,这个积分区域D决定了积分次序(为社么?因为最外面的一点是要常数上下界。这样子才能实现最后得到一个数,也就是积分区域D的自变量是放在最外面的)
我们如何找积分区域?
首先,要明确确定自变量后,这个积分区域是可以看成一个函数,而不是看成一个方程。
其次,找到自变量后,在平面内画一条垂直于积分区域自变量的直线,这个也就是应变量的上下界。
如图所示
获取到积分区域D后,我们将二重积分转换成二次积分就可以了。
2、直角坐标转换成极坐标进行二重积分。只要转换被积表达式和区域D就可以了
书里面说了,直角坐标转换成极坐标二重积分,
- 把被积函数的x,y转换成pcosθ和psinθ。
- 把dx和dy变成pdpdθ。
区域D的转换:
在区间[α,β]上任取一个值,对应于这个值,做一条射线穿过积分闭区域D上的点的组成的极径从p1(θ)变到p2(θ),其中p1(θ)和p2(θ)就是被积区域的极径上下界。
极坐标的应用:
求曲线面积:
如何将曲面面积与被积区域联系起来:
其中d6是dM曲面在被积区域内的投影,dA是dM的切平面。
其中的dM和dA可以看成几乎相等,因为dA比dM多一个高阶无穷小。因此也就求dM得面积也就变成了求dA得面积(直代曲),然后我们怎么求dA的面积,这时候就和被积平面联系起来。
,及dA=d6/cosθ。
所以:
现在公式已经推出来了?然后就是运用这个公式了,这里有几道题目:
怎么求体积:
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