归并排序快速排序时间复杂度分析（基本递归时间复杂度分析）

归并排序

归并排序：利用分治的思想，先排左边一半，再排右边一半，最后再将两边有序的合并起来。
时间复杂度: 用T(n)T(n)T(n)表示排大小为nnn的数组的时间：T(n)=2T(n/2)+nT(1)=1T(n)=2T(n/2)+n\quad T(1)=1T(n)=2T(n/2)+nT(1)=1

关于如何解这个递归方程，这里介绍其中一种，我们假设n是2的幂:

首先，我们递推关系式的两边同时除以n，得到:T(n)n=T(n/2)n/2+1\frac{T(n)} {n}=\frac{T(n/2)}{n/2}+1nT(n)=n/2T(n/2)+1。
因为该方程对2的幂的任意n是成立的，于是还可以写成：
T(n/2)n/2=T(n/4)n/4+1\frac{T(n/2)}{n/2}=\frac{T(n/4)}{n/4}+1n/2T(n/2)=n/4T(n/4)+1
T(n/4)n/4=T(n/8)n/8+1\frac{T(n/4)}{n/4}=\frac{T(n/8)}{n/8}+1n/4T(n/4)=n/8T(n/8)+1
…
T(2)2=T(1)1+1\frac{T(2)}{2}=\frac{T(1)}{1}+12T(2)=1T(1)+1
此时，我们把这些式子的左边和右边统一加起来，会发现很多项都同时消掉了，我们称之为叠缩公式。
最后剩下:T(n)n=T(1)1+logn\frac{T(n)}{n}=\frac{T(1)}{1}+lognnT(n)=1T(1)+logn，此时T(n)=nlogn+n=O(nlogn)T(n)=nlogn+n=O(nlogn)T(n)=nlogn+n=O(nlogn)

快速排序

快速排序的主要思想依然是分治：
1、从待排数组中选出一个枢纽元（pivotpivotpivot）；
2、然后将数组分割为两个不相交集合s1,s2s1,s2s1,s2，左半边集合的元素都小于等于pivotpivotpivot，右半边集合元素都大于等于pivotpivotpivot。
3、最后，分别排序左半边、右半边。
快速排序的枢纽元选择策略一般为：
1、三数中值分割法：即选择待排数组的左段、右段和中心位置的中值作为枢纽元。
2、待排数组的第一个元素：但是这很可能会出现极坏的情况：那就是这个元素是这个数组里面最小的或者最大的，那么其他剩余元素要么被分进s1s1s1,要么被分进s2s2s2，TC：O(n2)TC：O(n^2)TC：O(n2)。这种最坏的情况出现在整个数组是预排序的（非递增、非递减）。
时间复杂度的关系为:T(n)=T(i)+T(n−i−1)+cnT(n)=T(i)+T(n-i-1)+cnT(n)=T(i)+T(n−i−1)+cn（iii为集合s1s1s1中的元素个数，分割数组也需要线性时间）
那么先来分析下快速排序的最好情况：那就是分割完数组后，集合s1,s2s1,s2s1,s2中元素大小都一样。
即T(n)=2T(n/2)+cnT(n)=2T(n/2)+cnT(n)=2T(n/2)+cn，那么答案和刚才分析的归并排序是一样的，等式两边同时除以nnn，然后利用缩叠公式，最后T(n)=n+knlogn=O(nlogn)T(n)=n+knlogn=O(nlogn)T(n)=n+knlogn=O(nlogn)。
然后说下刚才提到的可能出现的最坏情况（即每次除了枢纽元之外的元素全在s1s1s1或s2s2s2）：T(n)=T(n−1)+cnT(n)=T(n-1)+cnT(n)=T(n−1)+cn。
我们用n−1n-1n−1不断替换nnn可以得到：T(n−1)=T(n−2)+c(n−1),T(n−2)=T(n−3)+c(n−3)...T(2)=T(1)+c(2)T(n-1)=T(n-2)+c(n-1),T(n-2)=T(n-3)+c(n-3)...T(2)=T(1)+c(2)T(n−1)=T(n−2)+c(n−1),T(n−2)=T(n−3)+c(n−3)...T(2)=T(1)+c(2)，依然是等式左右两边同时相加，得到：T(n)=c(2+3+...+n)，T(n)=O(n2)T(n)=c(2+3+...+n)，T(n)=O(n^2)T(n)=c(2+3+...+n)，T(n)=O(n2)。
最后，来说下平均情况，因为对于s1s1s1，每个大小都是等可能的，所以都有1n\frac {1}{n}n1的可能：

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