Gym - 101471D Money for Nothing(决策单调性+分治+贪心)

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题目大意：在二维平面中给出 n 个点可以作为矩形左下角的点，再给出 m 个点可以作为矩形右上角的点，现在问最大可以构造出多大面积的矩形，即如何选择，可以使得 ( b[ j ] . x - a[ i ] . x ) * ( b[ j ] . y - a[ i ] . y ) 最大

题目分析：首先贪心去想，对于矩形左下角的点来说，如果存在着两个点 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )，满足 x1 < y1 且 x2 < y2 的话，那么点 A 一定是要比点 B 永远都是更优的，所以可以直接把点 B 删除掉，对于矩形右上角的点也是同理，这个操作在预处理时线性遍历一遍就可以完成，贪心完成后剩余的点应该如下图所示：

如果用图示画出来的话，应该往斜率优化dp或者决策单调性方面去想，因为是二维的点，斜率优化的话需要三维凸包，所以考虑决策单调性

简单来说就是，设数组 a 是左下角的点，数组 b 是右下角的点，如果 a[ i ] 和 b[ j ] 是最优的，也就是 a[ i ] 和 b[ j - 1 ] 不是最优的，那么 a[ i + 1 ] 一定不可能和 b[ j - 1 ] 是最优的，证明如下：

所以不难看出，最后的化简的公式与假设相悖，所以得证

如此一来就可以分治去解决了，具体策略如下：设 solve( l1 , r1 , l2 , r2 ) 为当前区间的询问区间为 [ l1 , r1 ] ，决策所在区间为 [ l2 , r2 ] 时的最优答案，即 [ l1 , r1 ] 对应的是数组 a，[ l2 , r2 ] 对应的是数组 b，每次选择询问区间的中位数去决策区间中寻找最优决策设为 pos，根据决策单调性不难看出，[ l1 , mid - 1 ] 的决策只可能在 [ l1 , pos ] 中出现，同理 [ mid + 1 , r1 ] 的决策只可能在 [ pos , r2 ] 中出现，如此递归下去时间复杂度是 O( nlogn ) 级别的

有一点小细节就是，有可能决策为负数，或者 a 变成了矩阵的右上角端点，b 变成了矩阵的左下角端点，此时的决策应该是负无穷（不应该出现这种情况），虽然决策为负数时无法更新答案，但是却可以更新相对的最优情况，如此分治下去肯定是最优的

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const LL inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;const int N=1e6+100;int n,m;bool ban[N];struct Node
{LL x,y;void input(){scanf("%lld%lld",&x,&y);}bool operator<(const Node& t)const{if(x!=t.x)return x<t.x;return y<t.y;}
}a[N],b[N];void init_a()
{sort(a+1,a+1+n);memset(ban,false,sizeof(ban));int last=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(a[i].y>=a[last].y)ban[i]=true;elselast=i;}int tot=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(!ban[i])a[++tot]=a[i];n=tot;
}void init_b()
{sort(b+1,b+1+m);memset(ban,false,sizeof(ban));int last=m;for(int i=m-1;i>=1;i--){if(b[i].y<=b[last].y)ban[i]=true;elselast=i;}int tot=0;for(int i=1;i<=m;i++)if(!ban[i])b[++tot]=b[i];m=tot;
}LL cal(int i,int j)
{if(b[j].x<a[i].x&&b[j].y<a[i].y)return -inf;return (b[j].x-a[i].x)*(b[j].y-a[i].y);
}LL solve(int l1,int r1,int l2,int r2)//a[l1,r1],b[l2,r2]
{if(l1>r1||l2>r2)return 0;int mid=l1+r1>>1;int pos=l2;for(int i=l2+1;i<=r2;i++)if(cal(mid,pos)<cal(mid,i))pos=i;return max({solve(l1,mid-1,l2,pos),solve(mid+1,r1,pos,r2),cal(mid,pos)});
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.ans.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)a[i].input();for(int i=1;i<=m;i++)b[i].input();init_a();init_b();printf("%lld\n",solve(1,n,1,m));return 0;
}

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