2021-2022年度第三届全国大学生算法设计与编程挑战赛（秋季赛）- 分组(矩阵快速幂套NTT优化dp)

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题目大意：给出 nnn 个连续的小球，每次可以选择单独的一个或者相邻的两个小球分成一组，允许有剩余的小球，问恰好分成 k∈{1,2,3,⋯,m}k\in\{1,2,3,\cdots,m\}k∈{1,2,3,⋯,m} 组的方案数分别是多少。

题目分析：设 dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j] 为前 iii 个小球分成 jjj 组的方案数，不难推出：
dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i−1][j−1]+dp[i−2][j−1]dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]+dp[i-2][j-1]dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i−1][j−1]+dp[i−2][j−1]

由于不会特征方程求解通项公式，只会用矩阵快速幂套多项式优化上述过程，时间复杂度 O(mlog⁡nlog⁡m)O(m\log n\log m)O(mlognlogm)，比赛时无论如何卡常都 TLETLETLE，但是补题的时候交了一发很神奇的卡常卡过去了，离谱。

然后这个模板在矩阵自乘的时候做了一些小优化，将原本 888 次的 DFTDFTDFT 下降成了 444 次，可以说是优化了很多了。

具体推导可以参考：2021HDU多校8 - 7057 Buying Snacks

一份常数更小的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define rep(i,a) for(int i=0;i<(a);++i)
#define repi(i,a) for(int i=1;i<=(a);++i)
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
typedef long long ll;
const int Inf=0x3f3f3f3f;
const int jt=998244353,rg=3,mlg=20;
void inline add(int &a,int b) {a+=b-jt;a+=(a>>31)&jt;
}
void inline sub(int &a,int b) {a-=b;a+=(a>>31)&jt;
}
void inline mul(int &a,int b) {a=(ll)a*b%jt;
}
int inline Add(int a,int b) {return a+b>=jt?a+b-jt:a+b;
}
int inline Sub(int a,int b) {return a-b<0?a-b+jt:a-b;
}
int inline Mul(int a,int b) {return (ll)a*b%jt;
}
typedef vector<int>Poly;
int inline ksmii(int a,int b) {int res=1;while(b) {if(b&1) {mul(res,a);}mul(a,a);b>>=1;}return res;
}
namespace Fourier {int ho[mlg+1][1<<mlg],omg[mlg+1][1<<mlg],in[mlg+1];void init() {rep(lg,mlg+1) {int N=1<<lg;if(lg) {rep(i,N) {ho[lg][i]=(ho[lg][i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));}}int omega=ksmii(rg,(jt-1)>>(lg+1)),ome=1;rep(i,N) omg[lg][i]=ome,mul(ome,omega);in[lg]=ksmii(N,jt-2);}}void inline fft(int a[],int lg,int inv) {int N=1<<lg;rep(i,N) {if(ho[lg][i]<i) {swap(a[i],a[ho[lg][i]]);}}rep(l,lg) {int i=1<<l;for(int j=0;j<N;j+=i<<1) {int *x=a+j,*y=x+i,*o=omg[l],tmp;rep(k,i) {tmp=Mul(*y,*o);*y=Sub(*x,tmp);add(*x,tmp);++x,++y,++o;}}}if(!~inv) {reverse(a+1,a+N);rep(i,N) {mul(a[i],in[lg]);}}}
}int N,M;
int tmp[2][2][1<<mlg],tmq[2][2][1<<mlg],tmr[2][2][1<<mlg];struct Matrix {Poly a[2][2];inline Poly *operator[](int x) {return a[x];}inline const Poly *operator[](int x) const  {return a[x];}inline Matrix operator*(const Matrix &b) const {int ts1=0,ts2=0;rep(i,2) rep(j,2) ts1=max(ts1,SZ(a[i][j]));rep(i,2) rep(j,2) ts2=max(ts2,SZ(b[i][j]));int ts=ts1+ts2,lg=0;while((1<<lg)<ts) ++lg;int N=1<<lg;rep(i,2) rep(j,2) {rep(k,N) tmp[i][j][k]=k<SZ(a[i][j])?a[i][j][k]:0;Fourier::fft(tmp[i][j],lg,1);}rep(i,2) rep(j,2) {rep(k,N) tmq[i][j][k]=k<SZ(b[i][j])?b[i][j][k]:0;Fourier::fft(tmq[i][j],lg,1);}rep(i,2) rep(j,2) rep(k,N) tmr[i][j][k]=0;rep(p,N) rep(i,2) rep(j,2) rep(k,2) add(tmr[i][k][p],Mul(tmp[i][j][p],tmq[j][k][p]));rep(i,2) rep(j,2) Fourier::fft(tmr[i][j],lg,-1);Matrix res;if(ts>M+5) ts=M+5;rep(i,2) rep(j,2) {res[i][j].resize(ts);rep(k,ts) res[i][j][k]=tmr[i][j][k];}return res;}
};
void MUL(Matrix &a){int ts=0;rep(i,2) rep(j,2) ts=max(ts,SZ(a[i][j]));int lg=0;ts*=2;while((1<<lg)<ts) ++lg;int N=1<<lg;rep(i,2) rep(j,2) {rep(k,N) tmp[i][j][k]=k<SZ(a[i][j])?a[i][j][k]:0;Fourier::fft(tmp[i][j],lg,1);}rep(i,2) rep(j,2) rep(k,N) tmr[i][j][k]=0;rep(p,N) rep(i,2) rep(j,2) rep(k,2) add(tmr[i][k][p],Mul(tmp[i][j][p],tmp[j][k][p]));rep(i,2) rep(j,2) Fourier::fft(tmr[i][j],lg,-1);if(ts>M+5) ts=M+5;rep(i,2) rep(j,2) {a[i][j].resize(ts);rep(k,ts) a[i][j][k]=tmr[i][j][k];}
}
inline Matrix ksmii(Matrix a,int b) {Matrix res;rep(i,2) rep(j,2) res[i][j]=i==j?Poly{1}:Poly{};while(b) {if(b&1) {res=res*a;}MUL(a);b>>=1;}return res;
}
Matrix tr,ntr,ini;
void solve() {scanf("%d%d",&N,&M);ntr=ksmii(tr,N);Matrix res=ntr*ini;Poly &ans=res[1][0];repi(i,M) write(ans[i]),putchar(' ');puts("");
}
int main() {Fourier::init();tr[0][0]=Poly{1,1};tr[0][1]=Poly{0,1};tr[1][0]=Poly{1};tr[1][1]=Poly{};ini[0][0]={1,1};ini[1][0]={1};int T=1;while(T--) solve();return 0;
}

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